Kombinácie bez opakovania

Riešené úlohy

\( .\)
Riešené úlohy.
Využite model GPT:  Kombinatorika – sprievodca riešením úloh.
Úloha 1: V priestore máme 7 rovín, z ktorých sú tri navzájom rovnobežné a štyri prechádzajú jednou priamkou. Koľko priesečníc vytvoria?
Riešenie.
  1. Máme 7 rovín. Celkový počet dvojíc rovín je \small \left(\begin{array}{cc} 7 \\ 2 \end{array} \right) = 21 .
  2. Z toho 3 roviny sú navzájom rovnobežné, takže tvoria \small \left(\begin{array}{cc} 3 \\ 2 \end{array} \right) = 3 dvojice bez prieniku.
  3. 4 roviny prechádzajú spoločnou priamkou, a teda každá dvojica z nich sa pretína v tej istej priamke. Týchto dvojíc je \small \left(\begin{array}{cc} 4 \\ 2 \end{array} \right) = 6 , ale priesečníc len 1 (tá istá priamka).
  4. Každá z 3 rovnobežných rovín sa môže pretínať s každou zo 4 rovín, ktoré prechádzajú danou priamkou, čo dáva 3 \times 4 = 12 dvojíc – každá dáva jednu novú priamku prieniku.
  5. Spočítaním rôznych priesečníc:
    • z rovín prechádzajúcich jednou priamkou: 1
    • z dvojíc medzi rovnobežnými a ostatnými: 12
Spolu  \small  1 + 12 = \boxed{13} rôznych priesečníc (priamok).
Iný spôsob výpočtu:    \small \left(\begin{array}{cc} 7 \\ 2 \end{array} \right) -\left(\begin{array}{cc} 3 \\ 2 \end{array} \right) -\left(\begin{array}{cc} 4 \\ 2 \end{array} \right) +1 = 21-3-6+1 =13

Úloha 2: Skúšajúci má pripravených 20 príkladov z aritmetiky a 30 z geometrie. Na písomku chce dať:
  • Variant A: 3 aritmetické a 2 geometrické príklady
  • Variant B: 1 aritmetický a 2 geometrické príklady
Koľko má možností zostavenia rôznych zadaní?
Riešenie.
  1. Počet možností výberu vo variante A:
    \left(\begin{array}{cc} 20 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{cc} 30 \\ 2 \end{array} \right) \small = 1140 \cdot 435 = 496\;900
  2. Počet možností výberu vo variante B:
    \left(\begin{array}{cc} 20 \\  1 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array} {cc} 30 \\  2 \end{array} \right) \small = 20 \cdot 435 = 8\;700
Celkový počet rôznych zadaní  \small 496\;900 + 8\;700 = \boxed{505\;600}
Úloha 3: Pre prípustné hodnoty \small n zjednodušte výrazy:
\large \frac{n!(n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}      Riešenie step by step Tu.
Úloha 4: Riešte rovnicu v obore celých čísel
\large \frac{(x+6)!}{(x+4)!} \small + \; x^2-16x=28      Riešenie step by step Tu.

Ďalšie rovnice Tu . Riešené úlohy - TeX.
\( .\)