Interaktívna geometria - planimetria
Neeuklidovská geometria
Nástroj hPriamka
Poznámky.
- Konštrukcie v Poincarè Disku si uľahčíme, ak v GeoGebre vytvoríme vlastné nástroje, ktorými sa "vykreslí" resp. zostrojí požadovaný útvar.
- Vychádzame z tvrdenia, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k Poincarè disku.
- Najskôr musíme popísať konštrukciu, ktorá vytvorí požadovaný kolmý oblúk (obraz h-priamky).
- Potom pomocou makier vytvoríme nástroj, pomocou ktorého sa zostrojí požadovaný kolmý oblúk.
Príklad (Vytvorenie nástroja).
Daný je kruh
a body
ležiace vnútri kruhu, pričom úsečka
nie je priemerom. Zostrojte obraz hyperbolickej h-priamky určenej bodmi
v prostredí GeoGebra.
Daný je kruh
![\small \omega (O, r=1) \small \omega (O, r=1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c955922e3fcaa2dbfa2ae1569c5d8289.png)
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1fd5befa06eb94afe9b60b552facb12.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70dcdb2c7b6f8c1847050898533f39e8.png)
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1fd5befa06eb94afe9b60b552facb12.png)
Riešenie - zostrojenie kružnicového oblúka v Euklidovskej rovine
Predpokladajme, že aspoň jeden z bodov
je vnútorný bod kruhu
a je rôzny od stredu
. Podľa už dokázaného tvrdenia je hľadaná h-priamka kružnicový oblúk, ktorý je určený bodmi
a zároveň leží na kružnici kolmej ku kruhu
. Pozrite si nasledujúci obrázok.
Postup euklidovskej konštrukcie.
Postup na vytvorenie nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz hyperbolickej priamky v Poincarè modeli.
Predpokladajme, že aspoň jeden z bodov
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1fd5befa06eb94afe9b60b552facb12.png)
![\small \omega \small \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/38f960cbe78eb7dcbd9a71c516adf726.png)
![\small O \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd2edbb3f929cc29f81bbb586e0715e5.png)
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1fd5befa06eb94afe9b60b552facb12.png)
![\small \omega (O, r=1) \small \omega (O, r=1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c955922e3fcaa2dbfa2ae1569c5d8289.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/385781/mod_book/chapter/9030/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202022-08-23%20163010%20%282%29.png)
Postup euklidovskej konštrukcie.
- V kruhovej inverzii
zostrojíme obrazy
bodov
.
- Zostrojíme kružnicu
určenú bodmi
alebo bodmi
. Nájdeme priesečníky
.
- Na kružnici
vyznačíme menší z oblúkov, ktoré sú určené krajnými bodmi
.
- Menší oblúk je hľadaný obraz hyperbolickej priamky
. Túto konštrukciu si otvoríte Tu.
- úsečka
je priemerom kružnice
- v konštrukcii tento prípad má názov "Diameter"
- obidva body
ležia na kružnici
ale nie sú priemerom - v konštrukcii tento prípad má názov "Nevlastne",
nájdete v nami vytvorenom applete Tu.
Postup na vytvorenie nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz hyperbolickej priamky v Poincarè modeli.
- Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor uložený s názvom "h-Priamka".
- V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
- Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
- ako výstupné objekty vyberte oblúk "hPriamka" (otvorte si aj algebraické okno)
- ako vstupné objekty vyberte body:
- vhodne pomenujte nástroj, napr. "hPriamka", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
- v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body a potom klikni na kružnicu"
- zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov" (nie je nutné).
- Ak už vidíte novú ikonku nástroja hPriamka, tak v tejto konštrukcii kliknite v stĺpci Súbor na Nový.
- Nákresňa je "čistá" ale ikonka hPriamka je tam (ak nie, tak Prispôsobte paletu nástrojov) . Teraz si vytvorte kružnicu
a vhodne zväčšite plochu nárysne. Uložte si tento súbor napr. s názvom Nástroj hPriamka.
Nami novovytvorený nástroj hPriamka v GeoGebre na zostrojenie obrazu h-priamky v modeli
Poincaré Disc
s polomerom
si môžete otvoriť
Tu (je umiestnený vpravo na lište nástrojov).
Používanie nástroja hPriamka je analogické ako v euklidovskej rovine. Najskôr si zvoľte dva rôzne body vo vnútri kruhu
- pomocou nástroja Bod.
Potom aktivujte nástroj hPriamka a program vykreslí kružnicový oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).
![\small \omega \small \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aedf24b56ff2c5c5ac822539d4df71d5.png)
![r=1 r=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/744a23e95c0c42197899122a39f33184.png)
Používanie nástroja hPriamka je analogické ako v euklidovskej rovine. Najskôr si zvoľte dva rôzne body vo vnútri kruhu
![\small \omega \small \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aedf24b56ff2c5c5ac822539d4df71d5.png)
Cvičenie.
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorého sa vykreslí obraz hyperbolickej úsečky (časti hyperboly) v modeli Poincarè Disku.
Využite kompletnú konštrukciu hPriamky.
Pokračujte v tejto konštrukcii krokmi:
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorého sa vykreslí obraz hyperbolickej úsečky (časti hyperboly) v modeli Poincarè Disku.
Využite kompletnú konštrukciu hPriamky.
Pokračujte v tejto konštrukcii krokmi:
- zostrojte stred oblúka "hPriamka", ktorý označte napr.
- potom zostrojte oblúk s názvom "hUsecka" určený stredom
a krajnými bodmi
a
- následne vytvorte GeoGebra nástroj s rovnakým názvom "hUsecka".