Interaktívna geometria - planimetria
Zhodnosť
Axiómy zhodnosti
Z1: Pre ľubovoľné dva rôzne body
a polpriamku vychádzajúcu z bodu
existuje na tejto polpriamke práve jeden bod
taký,
že
.
Z2: Ak
a
, potom
.
Navyše, každá úsečka je zhodná sama so sebou:
.
Z3: Ak
,
,
a
, potom
.
Z4: Pre daný uhol
, danú polpriamku
a danú polrovinu ohraničenú priamkou
existuje práve jedna polpriamka
v danej polrovine tak, že
.
Z5: Ak
a
, potom
.
Navyše, každý uhol je zhodný sám so sebou:
.
Z6: Ak pre trojuholníky
a
platí, že
a
,
potom
a
.
Z1: Pre ľubovoľné dva rôzne body
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da50d474a25173f435a333f37e38b2cd.png)
existuje na tejto polpriamke práve jeden bod
![\small B' \small B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2d2a0ffd0bca505a68fe996dc9fafae2.png)
![\small AB \cong A'B' \small AB \cong A'B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fa14c38c0ad22b37b326a36d3076da9.png)
Z2: Ak
![\small AB \cong A'B' \small AB \cong A'B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5128f2757f82313c3c9b06b78cd6aff.png)
![\small AB \cong A''B'' \small AB \cong A''B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c6ccb8eeac0869fc32a5c8161e22a8d.png)
![\small A'B' \cong A''B'' \small A'B' \cong A''B''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2484074dada8e922e41d89dd31af7da2.png)
Navyše, každá úsečka je zhodná sama so sebou:
![\small AB \cong AB \small AB \cong AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d1a551e9c2ad6cb71161e84755fba657.png)
Z3: Ak
![\small \mu( ABC) \small \mu( ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dc5fe6322d5b09fe1a6edb463205c79.png)
![\small \mu( A'B'C') \small \mu( A'B'C')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e54c8dfd490070be83cf8db7ff574a2.png)
![\small AB \cong A'B' \small AB \cong A'B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5128f2757f82313c3c9b06b78cd6aff.png)
![\small BC \cong B'C' \small BC \cong B'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce666e99c9099d0f3d6c4b7db4bafc95.png)
![\small AC \cong A'C' \small AC \cong A'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b701ccc09ade212e84358f2846bc634b.png)
Z4: Pre daný uhol
![\small ∠ABC \small ∠ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/03b5d1a70db2f0c5c9fab17f833eb538.png)
![\small \overrightarrow{B'A'} \small \overrightarrow{B'A'}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d68837e465058720b4b7286303723a3a.png)
![\small \overleftrightarrow{A'B'} \small \overleftrightarrow{A'B'}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfea3393ed0648822f7ea5e7b112234f.png)
existuje práve jedna polpriamka
![\small \overrightarrow{B'C'} \small \overrightarrow{B'C'}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e076cbb3e4a8cb92601e35ae6341333.png)
![\small ∠A'B'C' \cong ∠ABC \small ∠A'B'C' \cong ∠ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/387e4d33b947e9ecd2e89f37a6891a7b.png)
Z5: Ak
![\small ∠ABC \cong ∠A'B'C' \small ∠ABC \cong ∠A'B'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c6928905b8a4a7633e07108fba8c67b5.png)
![\small ∠ABC \cong ∠A''B''C'' \small ∠ABC \cong ∠A''B''C''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d9c1513b5dbde01f95bc0abf948b84f.png)
![\small ∠A'B'C' \cong ∠A''B''C'' \small ∠A'B'C' \cong ∠A''B''C''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47ae186dba6a6856cf4fac8b6e2f20e3.png)
Navyše, každý uhol je zhodný sám so sebou:
![\small ∠ABC \cong ∠ABC \small ∠ABC \cong ∠ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e8a5fd77f45626f5ff5c6e2f6c997c2.png)
Z6: Ak pre trojuholníky
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small A'B'C' \small A'B'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/762ad7e9497eb33441f64b829b52d18d.png)
![\small AB \cong A'B', BC \cong B'C' \small AB \cong A'B', BC \cong B'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d439afc6cdc450042a5048c44a999d3.png)
![\small ∠B \cong ∠B' \small ∠B \cong ∠B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0373fa19a95d60810c69c18566a4f874.png)
potom
![\small ∠A \cong ∠A' \small ∠A \cong ∠A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3e0c17c26bfdedaad50cc5cc567cf7b.png)
![\small ∠C \cong ∠C' \small ∠C \cong ∠C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6fe72056968702ab9eb742aab655501b.png)
Veta sus. (Euklidove Základy, Tvrdenie I.4)
Ak pre trojuholníky
a
platí, že
a
, potom sú tieto trojuholníky zhodné.
Ak pre trojuholníky
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small A'B'C' \small A'B'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/762ad7e9497eb33441f64b829b52d18d.png)
![\small AB \cong A'B', BC \cong B'C' \small AB \cong A'B', BC \cong B'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d439afc6cdc450042a5048c44a999d3.png)
![\small ∠B \cong ∠B' \small ∠B \cong ∠B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0373fa19a95d60810c69c18566a4f874.png)
Dôkaz.
V dôsledku axiómy Z6 stačí ukázať, že
.
Dôkaz urobíme sporom. Nech
.
Nech
, pre ktorý platí
. Použitím axiómy Z6 dostaneme, že
,
čo je v rozpore s axiómou Z4 o prenášaní uhla. Teda musí platiť
.
V dôsledku axiómy Z6 stačí ukázať, že
![\small AC \cong A'C' \small AC \cong A'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d8689b2cb6a96ccbe8ad86ec0b9f3f8.png)
![\small AC \ncong A'C' \small AC \ncong A'C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f998de68248ee4b1caa96d2b2de7231d.png)
Nech
![\small C'' \in \overrightarrow{A'C'}: A'C'' \cong AC \small C'' \in \overrightarrow{A'C'}: A'C'' \cong AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28eefeff94d3096cb7c442fd77c3f796.png)
![\small C' \neq C'' \small C' \neq C''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e464346a679b6affcc72a670ff69a16a.png)
![\small ∠A'B'C' \cong A'B'C'' \small ∠A'B'C' \cong A'B'C''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ce0922a8fcee7243066c141c0453ff4.png)
čo je v rozpore s axiómou Z4 o prenášaní uhla. Teda musí platiť
![\small C' = C'' \small C' = C''](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a53e0ecff0041bef7f0ec1cf4e3a5bb2.png)
Poznámky.
- Symbol
použitý v axiómach predstavuje označenie pre uhol s vrcholom
resp. pre jeho veľkosť.
- Niekedy sa veta sus uvádza ako axióma Z6.
- Porovnajte nami prezentovaný dôkaz vety sus s dôkazom v uvedeným v Euklidových Základoch.
- Ďalšie vety o zhodnosti trojuholníkov nájdete v samostatnej e-knihe tohto kurzu.
V Hilbertovom axiomatickom systéme axiómy Z1 a Z4 zaručujú jednoznačnosť prenášania
- danej úsečky na danú polpriamku - Z1
- uhla danej veľkosti do polroviny - Z4
Definícia.
Nech
je ľubovoľný bod a
je daná nenulová úsečka. Kružnica so stredom
a polomerom
je množina všetkých bodov
, pre ktoré platí, že úsečka
je zhodná s úsečkou
.
Nech
![\small S \in E_2 \small S \in E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fed281e35a121ac623f8081051b31755.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\small X \in E_2 \small X \in E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9174b9c279c0699575b8f7a43b2028a4.png)
![\small SX \small SX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02870ff129182ae7ca32214ce6c72301.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![\small k(S; r) := \lbrace{X \in E_2; SX \cong r}\rbrace \small k(S; r) := \lbrace{X \in E_2; SX \cong r}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/749cc79a0a153cf72565d86310ca255f.png)
Definície ďalších geometrických útvarov budeme uvádzať priebežne podľa potreby.
Axióma Z4 predstavuje euklidovskú konštrukciu prenášania uhla do danej polroviny. Vo vyučovaní geometrie na ZŠ sa táto konštrukcia uskutočňuje pomocou listu papiera alebo pomocou kružidla. Dynamickú formu aktivity prenášania uhla pomocou kružidla, ktorá je vhodná pre žiakov základných škôl, predstavuje nasledujúci applet.
Kružnica sa využíva aj pri euklidovskej konštrukcii osi uhla Kniha 1, Tvrdenie IX ako ukazuje nasledujúci obrázok.
V predchádzajúcich dvoch euklidovských konštrukciách sa mimovoľne predpokladalo, že pri prenášaní úsečky jej veľkosť sa nemení. V Hilbertovom axiomatickom systéme vlastnosť zachovávania "veľkosti útvaru" pri "prenášaní" sa zaručuje pomocou axióm Z1 a Z4.
Rozdiel medzi Euklidovými Základmi a Hilbertovým axiomatickým prístupom je zásadný, ktorý podrobnejšie popíšeme v nasledujúcej podkapitole.
Axióma Z4 predstavuje euklidovskú konštrukciu prenášania uhla do danej polroviny. Vo vyučovaní geometrie na ZŠ sa táto konštrukcia uskutočňuje pomocou listu papiera alebo pomocou kružidla. Dynamickú formu aktivity prenášania uhla pomocou kružidla, ktorá je vhodná pre žiakov základných škôl, predstavuje nasledujúci applet.
Kružnica sa využíva aj pri euklidovskej konštrukcii osi uhla Kniha 1, Tvrdenie IX ako ukazuje nasledujúci obrázok.
V predchádzajúcich dvoch euklidovských konštrukciách sa mimovoľne predpokladalo, že pri prenášaní úsečky jej veľkosť sa nemení. V Hilbertovom axiomatickom systéme vlastnosť zachovávania "veľkosti útvaru" pri "prenášaní" sa zaručuje pomocou axióm Z1 a Z4.
Rozdiel medzi Euklidovými Základmi a Hilbertovým axiomatickým prístupom je zásadný, ktorý podrobnejšie popíšeme v nasledujúcej podkapitole.