Didaktika matematiky

Definícia
Permutácie s opakovaním z $n$ prvkov je usporiadaná $k$-tica zostavená z týchto prvkov tak, že každý sa v nej vyskytuje aspoň raz.

Vzťah medzi $k$ a $n$ je nasledujúci:
Prirodzené číslo $n$ udáva počet rôznych prvkov. Jednotlivé prvky sa môžu opakovať. Je zvykom označovať

• počet opakovaní prvého prvku $k_1$
• počet opakovaní druhého prvku $k_2$
a tak ďalej, až
• počet opakovaní posledného prvku $k_n$

Prirodzené číslo $k$ označuje počet všetkých prvkov, ktorých rôzne poradie skúmame, preto platí $k = k_1 + k_2 + ... + k_n$.

Ukážka.
Ak máme napr. 3 žlté kocky, 1 modré kocka a 1 červená kocka a chceme ich poukladať do radu, jedná sa o permutácie s opakovaním z troch prvkov, kde prvý prvok sa opakuje 3x, druhý 1xa tretí 1x.

1. $n = 3$ (žltá, modrá, červená kocka)
2. $k_1 = 3, k_2 = 1, k_3 = 1$
3. $k = k_1 + k_2 + k_3 = 3 + 1 + 1 = 5$.
Skúste vypísať všetky permutácie, ktoré vyhovujú zadaniu.

Tvrdenie
Počet permutácií s opakovaním z $n$, v ktorých sa jednotlivé prvky opakujú $k_1,k_2, \cdot \cdot \cdot ,k_n$-krát, je rovný číslu
$P'(k_1,k_2, \cdot \cdot \cdot ,k_n)=$ $\frac{ (k_1+k_2+ \cdot \cdot \cdot +k_n)!}{k_1!k_2! \cdot \cdot \cdot k_n!}$