Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí pojem deliteľnosti prirodzených (ale aj celých) čísel. Mnohé z vlastností deliteľnosti sú využiteľné aj v rôznych oblastiach matematiky. Vetu o delení so zvyškom využívajú žiaci už od ZŠ. 

Pri delení prirodzeného čísla $a$ nenulovým prirodzeným číslom $b$ dostaneme (čiastočný) podiel $q$ a zvyšok $r < b$ , pričom podiel a zvyšok sú delencom a deliteľom jednoznačne určené.

• Hovoríme, že prirodzené číslo $b$ delí prirodzené číslo $a$, ak existuje prirodzené číslo $c$, že platí $a=b . c$.
• V takomto prípade píšeme $b|a$ a hovoríme tiež, že číslo $a$ je deliteľné číslom $b$ alebo, že číslo $a$ je násobkom čísla $b$.
• Ak číslo $b$ nedelí číslo $a$ píšeme $b∤a$.

V nasledujúcom tvrdení zhrnieme niektoré zo základných vlastností deliteľnosti prirodzených čísel.

Základné vlastnosti deliteľnosti. Pre ľubovoľné prirodzené čísla $a,b,c$ platí:

1. $1|a,\;a|a,\;a|0,$
2. ak $b|a,a \neq 0$, tak  $b < a$,
3. ak $b|a \wedge a|c$, tak $b|c$,
4. $a|b \wedge b|a$ práve vtedy, keď $a=b$,
5. ak $a|b \wedge a|c$, tak $a|(b+c)$,
6. ak $a|b \wedge a|c, \; b ≥ c$, tak $a|(b – c)$.