Konštrukcia číselných oborov - prirodzené čísla
Číselné obory
Príklad rozšírenia
Nech
je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a
je ľubovoľné celé číslo. Množinu racionálnych
čísel
môžeme zaviesť pomocou relácie ekvivalencie na množine všetkých usporiadaných dvojíc celých čísel.
Takéto dvojice
môžeme interpretovať aj ako zlomky
.
![\small q \in N \small q \in N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f78b2a31157093515ba21e318536c135.png)
![\small p \in Z \small p \in Z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d24183860ef549840ff894329dd85444.png)
![\small Q \small Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32623ed615402e9bb0509ddb49906924.png)
Takéto dvojice
![\small [p,q] \small [p,q]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f638a7987a9a0506caf6e3e19494ee83.png)
![\small \frac{p}{q} \small \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b2e866448642d1f950d17bb578a40c2.png)
- Na množine zlomkov
potom definujme rovnosť zlomkov takto:
- Ukážte, že rovnosť zlomkov je relácia ekvivalencie, ktorá množinu všetkých zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín.
- Popíšte tento rozklad.
- Napríklad trieda rozkladu, ktorá obsahuje zlomok
bude obsahovať aj zlomky
.
- Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú.
- Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a vyhlásiť ho za racionálne číslo.
- Za „reprezentanta“ racionálneho čísla zvolíme každý zlomok
, ktorý je v základnom tvare. Teda, keď čísla
sú nesúdeliteľné a zárove
. Inými slovami, ak zlomok
už nemôžeme krátiť.
- Množina racionálnych čísel
je množina všetkých zlomkov v základnom tvare.
Uveďme aj matematický zápis takejto množiny: - Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel potom môžeme zaviesť pomocou pravidiel na súčet a súčin zlomkov. Definujte tieto operácie.
Poznámka.
Takýto spôsob zavedenia racionálnych čísel pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so zlomkami. Pozri Fraction Book.
Takýto spôsob zavedenia racionálnych čísel pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so zlomkami. Pozri Fraction Book.