Prirodzené čísla

Príklad rozšírenia

Tvrdenie.
Nech \small q \in N je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a \small p \in Z je ľubovoľné celé číslo. Množinu racionálnych čísel \small Q môžeme zaviesť pomocou usporiadaných dvojíc celých čísel  \small [p,q] resp. ako zlomky \small \frac{p}{q} .
V časti Naivná a axiomatická teória množín uvádzame podrobný dôkaz tejto vety. Dôkaz je založený na nasledovnej schéme:
  1. Na množine zlomkov \small Q= \lbrace{ \frac{a}{b}; a \in Z \wedge b \in N^+}\rbrace potom definujme rovnosť zlomkov takto: \small \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \Leftrightarrow a.y=b.x
  2. Rovnosť zlomkov je relácia, ktorá množinu všetkých zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín.
  3. Popíšeme takýto rozklad.
    • Napríklad trieda rozkladu, ktorá obsahuje zlomok \frac{4}{8} bude obsahovať aj zlomky \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{4}, \dots , \pm \frac{10}{20}, , pretože všetky tieto zlomky majú rovnakú hodnotu. Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú.
    • Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a prehlásiť ho za racionálne číslo. Najjednoduchšia voľba je zlomok v základnom tvare. Napríklad pre racionálne číslo 0,5 môžeme symbolicky písať
      0.5=\frac{1}{2} \stackrel{\small \text{def}}{=} \mathrm{card}\left\{ \dots , -\frac{4}{8},-\frac{3}{6},-\frac{2}{4},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{2}{4}, \dots \right\}
      .
  4. Množina racionálnych čísel \small Q je množina všetkých zlomkov v základnom tvare.
    Matematický zápis takejto množiny je: \small Q= \lbrace{ \frac{p}{q}; p \in Z \wedge q \in N^+ \wedge D(p,q)=1}\rbrace .
  5. Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel potom zavedieme pomocou známych pravidiel pre súčet a súčin zlomkov.
Poznámky.
  1. Ukážte, že rovnosť zlomkov je relácia ekvivalencie, ktorá množinu všetkých zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín.
  2. Takýto spôsob zavedenia racionálnych čísel pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so zlomkami. Pozri Fraction Book.
Cvičenie.
Popíšte číselný obor, ak relácia \small R \subset N \times N^+ je daná vzťahom: \small (m,n) \in R \Leftrightarrow \frac{m-n}{5} je celé číslo. (Číslo 5 delí rozdiel \small m-n .)
\( .\)