Dejiny matematiky

Pre štvrtý typ Al-Chvarizmí uvádza:

Čo sa týka štvorcov a koreňov rovných číslu; to ak napríklad povieš: štvorec a desať jeho koreňov je rovné tridsiatich deviatich dirhemům, to znamená, ak pridáš k niektorému štvorcu to, čo je rovné desiatim koreňom, dostaneš tridsať deväť

Úloha.
„Štvorec a desať jeho koreňov je rovných tridsiatim deviatim dirhemom".

„Pravidlo je nasledujúce: 

1. „Rozpoľ počet koreňov a získaš päť, násob to samo sebou a máš dvadsať päť" 
   
2. „Výsledok pridaj k tridsiatim deviatim a máš šesťdesiat štyri.“
3. „Nájdi z toho koreň, máš osem a odčítaj polovicu koreňov, čo je päť a zostanú ti tri".
4. „To je koreň štvorca, ktorý hľadáš, a štvorec je deväť.“  

Symbolický zápis

1. Riešte rovnicu: $x^2+10x=39$.
2. Pravidlo (pre riešenie rovnice štvrtého typu $x^2+10x=39$ ):
1. $\frac{1}{2} z 10=5 \rightarrow 5 .5=25$ v dnešnej terminológii $(x+5) ^2-25=39$  
   
2. $39+25=64$ ... $(x+5) ^2=64$  
3. $\sqrt{64} =8$ ... $x+5=\sqrt{64}$
4. $8-5 = 3 \Rightarrow x=3$ ... $x = 8-5 \Rightarrow x=3$

Geometrický dôkaz

Al-Chvarizmí dokazuje správnosť postupu. Odvodenie je čisto geometrické. Uvádza tu dva rôzne spôsoby dôkazu. V oboch prípadoch ide o doplnenie na štvorec.
V prvom prípade máme:

1. $x^2+10x=39$
2. $39+25=64$
3. $\sqrt{64} =8$ 
4. $8-5=3=x$    

V druhom prípade máme:

1. $x^2 + 4( \frac{10}{4} x)= x^2+10x=39$ 
2. $39+4(\frac{25}{4})= 64$ 
3. $\sqrt{64} =2(\frac{10}{4})+x$
4. $x=3$                       

Táto rovnica sa neskôr stala súčasťou snáď všetkých učebníc algebry až do novoveku.