Kvadratické rovnice

Piaty typ

Ukážka.
Piaty Al-Chwárizmiho problém objasňuje operácie al-jabr, al-muqābala a al-radd 
  1. Zadanie: „Rozdelil som desať na dve časti, vynásobil som potom každú z nich samu sebou.“
  2. Úloha: „Keď som ich sčítal, súčet bol päťdesiat osem dirhemov".
  3. Výpočet  
    1. Vezmi jednu z častí ako vec a druhu ako desať bez veci.
    2. Vynásob desať bez veci samu sebou, získaš sto a štvorec bez dvadsať veci.
    3. Potom vynásob vec samu sebou, to je štvorec.
    4. Všetko spolu sčítaj. Súčet je sto a dva štvorce bez dvadsiatich veci, ktoré sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom. 
    5. Vezmi teraz dvadsať záporných veci zo sto a dvoch štvorcov a pridaj ich k päťdesiatim ôsmim. Potom sto a dva štvorce sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom a dvadsiatim veciam.
    6. Preveď to na jeden štvorec, teda medzi polovicu toho, čo máš. Získaš päťdesiat dirhemov a štvorec, ktoré sú rovné dvadsiatim deviatim dirhemom a desiatim veciam.
    7. Potom preveď to, odčítaním dvadsať deväť od päťdesiat. Zostane dvadsať jeden a štvorec, ktoré sú rovné desiatim veciam.
      8. Teraz Al-Chvarizmi využije "substitúciu": Nech p,q sú korene rovnice (v našom ponímaní: x^2+c=bx ). Potom
        1. \large \frac {p+q}{2}=\frac{b}{2}= \frac{10}{2} =5
        2. p.q=c=21 ;
        Al-Chvarizmi poznal vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice! .
        Al-Chvárizmi toto tvrdenie dokazuje geometricky. Pozrite si prácu (Katz: A History of Mathematics An Introduction. Str. 23-24). Dostupné Tu.
    8. Polovica čísla koreňov je päť a násobená sama sebou je dvadsaťpäť. 
    9. Odober od toho dvadsaťjeden, ktoré sú spojene so štvorcom a zostatok sú štyri. 
    10.   \frac {p-q}{2}= \sqrt{(\frac {p+q}{2})^2-pq}=\sqrt{(25-21}
    11. Nájdi koreň, to je dva. 
Výsledok: "Odober koreň od zvyšku (od polovice - od piatich), zostanú ti tri. Toto je jedna z častí, druhá je sedem.“ 
                      x_2=\frac {p+q}{2}-\frac {p-q}{2}=5-2=3,    x_1=\frac {p+q}{2} +\frac {p-q}{2}=5+2=7
Symbolický zápis
  1. Zadanie: 10 \rightarrow {\binom {x} {10-x} } \rightarrow {(10-x)^2} \wedge { x^2} .
  2. Riešte rovnicu: {(10-x)^2} + { x^2}=58.
  3. Pravidlo – riešenie rovnice:
    1. x\wedge 10-x  
    2. (10-x)(10-x)=100+x^2-20x  
    3. x^2
    4. 100+x^2-20x+x^2=58\rightarrow 100+2x^2-20x=58
    5. 100+2x^2=58+20x
    6. 50+x^2=29+10x
    7. 21+x^2=10x
    8. \frac{1}{2} z 10 \rightarrow 5
    9. \sqrt{25-21}=2 \rightarrow p=2
    10. x=5-2=3
\( .\)