Dejiny matematiky

Definícia.
Completion and Reduction (Dokončenie a zníženie) ¹⁾

„Pozoroval som, že čísla, ktoré sa požadujú pri výpočte sú troch druhov:

1. štvorce
2. korene
3. jednoduché čísla, ktoré nie sú koreňové ani štvorcové.

Jednoduché číslo je akékoľvek číslo, ktoré možno vysloviť bez odkazu na koreň alebo štvorec.
Koreň je akékoľvek množstvo, ktoré sa má vynásobiť samo o sebe, skladajúce sa z jednotiek alebo čísel.
Štvorec je celé množstvo samotného koreňa."

Ukážky.
Číslo patriace do jednej z troch tried sa môže rovnať počtu iných tried. Môžete napríklad povedať:
„Štvorec sa rovná piatim koreňom“ [v súčasnej terminológii $x^2=5x$], čo je to isté ako
„Štvorec je dvadsaťpäť“ [... $x^2=25$] alebo
„Koreň je päť“ [... $x=5$] .

Iný príklad.
„Päť štvorcov je rovné desiatim koreňom“ [... $5x^2=10x$]
„Jeden štvorec je rovný dvom koreňom“ [... $x^2=2x$]
„Štvorec je štyri“ [... $x^2=4$]
„Koreň je dva“ [... $x=2$].

Definícia.
Al-Chwárizmi používal štyri aritmetické úpravy

1. Al-jabr predstavuje metódu eliminácie záporných členov rovnice. K obidvom stranám rovnice pričítame rovnaké členy. Napríklad vyraz $x^2=40x-4x^2$ al-jabrou upravíme na tvar $x^2+4x^2=40x.$
2. Al-muqábala kladné členy s rovnakou mocninou sú redukované tak, že každý objekt (Māl, Džizr, Dirhem) sa nachádza maximálne raz. Aplikovaním al-muqábaly: $x^2+4x^2=40x \rightarrow 5x^2=40x.$
3. Al-rad ak je koeficient pri najvyššej mocnine rôzny od jednotky, tak sa ním vydelí celá rovnica. Ak použijeme alrad: $5x^2=40x \rightarrow x^2=8x.$
4. Al-ikmal ak je koeficient pri najvyššej mocnine je zlomok $1/k$ , tak sa celá rovnica násobí číslom $k$.

Poznámky.
Názov operácie al-jabr sa začal používať na označenie celej náuky o rovniciach.
V Európe sa slovo algebra ako názov vedy objavuje v 14. storočí.