Didaktika matematiky

Nech $M_n= \lbrace{a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot ,a_n}\rbrace$ je množina $n$ kategórií (druhov, prvkov). Vytvorme $r$-tice z týchto $n$ prvkov, v ktorých nezáleží na poradí ale prvky (druhy) sa môžu opakovať. Zrejme môže nastať aj prípad $r \geq n$.

Definícia.
$r$-kombinácie s opakovaním definujeme ako $r$-tice prvkov z $n$ druhov $\lbrace{a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot ,a_r}\rbrace$, v ktorých nezáleží na poradí ale prvky (druhy) sa môžu opakovať. Počet všetkých $r$-kombinácií s opakovaním z $n$ prvkov budeme označovať symbolom $C'(n,r)$.

Kombinácia s opakovaním $a_1 a_2 \cdot \cdot \cdot a_r$ bude ľubovoľná (neusporiadaná) $r$-tica prvkov z množiny $M_n= \lbrace{a_1,a_2, \cdot \cdot \cdot ,a_n}\rbrace$.

• Výber $r$-tica predpokladá, že prvkov každého druhu $a_i \in M_n$ je dostatočne veľa, teda aspoň $r$.
• Pri určovaní počtu všetkých $r$-kombinácií s opakovaním z $n$ prvkov budeme využívať výsledky, ktoré sme odvodili pri partíciách.

Príklad
V obchode predávajú tri druhy cukru: kryštálový $k$, práškový $p$ a hnedý $h$ v kilogramovom balení. Vypíšte všetky možnosti pri nákupe 2 resp. 3 kilogramov cukru. V nákupe sa môže opakovať ten istý druh cukru.
Riešenie. Uvedieme nejaké možné nákupy, napríklad 2 kilogramový nákup môže byť {1 kg práškového cukru, 1 kg kryštálového cukru} $\equiv \lbrace{p,k}\rbrace = \lbrace{k,p}\rbrace$ alebo 3 kilogramový nákup môže byť {2 kg práškového cukru, 1 kg hnedého cukru} $\equiv \lbrace{p,p,h}\rbrace = \lbrace{p,h,p}\rbrace$.
Všetky nákupy dvoch kilogramov budú predstavovať 2-kombinácie s opakovaním z troch druhov cukru - $C'(3,2)$. Všetky nákupy troch kilogramov budú predstavovať 3-kombinácie s opakovaním z troch druhov cukru - $C'(3,3)$.
Pokúste sa vymenovať všetky možné nákupy. Pri nákupe

1. dvoch kilogramov máme 6 možností ... vypíšte ich. Otvorte si tabuľu Tu. 
2. troch kilogramov dostaneme 10 možností... vypíšte ich

Veta. Pre počet $r$-kombinácií s opakovaním z $n$ druhov platí  $C'(n,r)=C(n+r-1,n-1)$.

Dôkaz.
Nech $x_i$ označuje počet výskytu prvku $a_i \in M_n$ v nejakej $r$-kombinácií $a_1 a_2 \cdot \cdot \cdot a_r$ s opakovaním. Potom zrejme musí platiť rovnosť
$x_1+x_2+ \cdot \cdot \cdot + x_n=r$.
Napríklad pre nákup $\lbrace{k,p}\rbrace$ ide o rovnosť $1+1+0=2$

1. Ak k obidvom stranám tejto rovnosti pripočítame číslo $n$, tak po menšej úprave dostaneme rovnosť
$y_1+y_2+ \cdot \cdot \cdot + y_n=r+n$,
kde $y_i =x_i +1$ pre $i=1,2, \cdot \cdot \cdot ,n$.
Pre nákup $\lbrace{k,p}\rbrace$ ide o rovnosť $2+2+1=5$. Otvorte tabuľu.
2. Na rovnosť $y_1+y_2+ \cdot \cdot \cdot + y_n=r+n$ sa môžeme pozerať ako na rozdelenie čísla $r+n$ na $n$ častí alebo ako na partície (navzájom rôznych aspoň poradím) čísla $r+n$ na $n$ častí.
3. Počet takýchto partícií je rovný číslu $P(n+r,n)=C(n+r-1,n-1)$.Tým sme dokázali tvrdenie.
   Pre nákup dvoch litrov dostávame $C(5-1,3-1)=6$.