Kombinatorika
Binomická veta
Predpokladáme, že študentom sú známe vzorce pre mocniny dvojčlena
ak
resp. pre
. Pre umocňovanie s vyšším exponentom odvodíme vzorce pomocou tzv. binomickej vety, ktorú teraz dokážeme.
![(a+b)^n (a+b)^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bde0bf73f1eaa925535d94a2e20a3ece.png)
![n=2 n=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/188f5ac1b1ac9c5aa7eec28793155847.png)
![n=3 n=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d06e9adeb7d619dd6a583bd39e4ba33.png)
Dôkaz vety
Pri dôkaze binomickej vety vychádzame z toho, že v súčine
člen
dostaneme tak, že z dvojčlenov
vyberieme
-krát reálne číslo
a potom
-krát reálne číslo
. To je možné práve
spôsobmi, čím je dôkaz ukončený. Dôkaz binomickej vety môžeme urobiť aj pomocou úplnej matematickej indukcie.
Pri dôkaze binomickej vety vychádzame z toho, že v súčine
![(a+b)(a+b) \cdot \cdot \cdot (a+b) (a+b)(a+b) \cdot \cdot \cdot (a+b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f45c0d24a69543d12612199038189ae.png)
člen
![a^{n-k} b^k a^{n-k} b^k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c473d5c9843e454eb9d6e1071f7851d3.png)
dostaneme tak, že z dvojčlenov
![(a+b) (a+b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4ad4cb2ea55ae8f8d7d77f50ce3f1d2.png)
![(n-k) (n-k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dcf60258da5fd8a06e9d9f8890f7f719.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![b b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/301d251459701f60c27be3229f1c4122.png)
![C(n,n-k)=C(n,k) C(n,n-k)=C(n,k)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/38ccd541c05cf1d37a13b36b8c55f33a.png)
spôsobmi, čím je dôkaz ukončený. Dôkaz binomickej vety môžeme urobiť aj pomocou úplnej matematickej indukcie.
Poznámky