Kombinatorika
Kombinácie bez opakovania
Pascalov trojuholník
Pre 1-prvkovú množinu zrejme platí:
opäť použijeme tvrdenie uvedené v dôsledku teraz pre 2-prvkovú množinu a dostaneme:
a zároveň pre 2-prvkovú množinu tiež platí:
.
Takto by sme mohli postupovať pre väčšie hodnoty
. Napríklad už poznáme hodnoty
preto ľahko spočítame hodnoty pre
. Ak tieto výpočty budeme zapisovať do trojuholníkovej schémy, tak dostaneme známy Pascalov trojuholník pre kombinačné čísla.
![\binom {1} {0} + \binom {1} {1} = 1+1=2\stackrel{dosledok}{=} \binom {2} {1} \binom {1} {0} + \binom {1} {1} = 1+1=2\stackrel{dosledok}{=} \binom {2} {1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/48a1653df788baea3c666e4a89268a74.png)
opäť použijeme tvrdenie uvedené v dôsledku teraz pre 2-prvkovú množinu a dostaneme:
![\binom {2} {0} + \binom {2} {1} = 1+2=3\stackrel{dosledok}{=} \binom {3} {1} \binom {2} {0} + \binom {2} {1} = 1+2=3\stackrel{dosledok}{=} \binom {3} {1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/daecdfecb16a0d12b6204e53cf8445fd.png)
a zároveň pre 2-prvkovú množinu tiež platí:
![\binom {2} {1} + \binom {2} {2} = 2+1=3\stackrel{dosledok}{=} \binom {3} {2} \binom {2} {1} + \binom {2} {2} = 2+1=3\stackrel{dosledok}{=} \binom {3} {2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/127e0a571bb9bcfe0f0231d7f0e60eeb.png)
Takto by sme mohli postupovať pre väčšie hodnoty
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![\binom {3} {0} = \binom {3} {3} =1; \binom {3} {1} = \binom {3} {2} =3 \binom {3} {0} = \binom {3} {3} =1; \binom {3} {1} = \binom {3} {2} =3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/11f0c267bba0dd06ae5a4ac9d5ce216d.png)
preto ľahko spočítame hodnoty pre
![n=4 n=4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b99d8e7a87aaaa955bde521ee45ea470.png)