Vektorový priestor

Riešené príklady

Úlohy zo zbierky MON.

  1. Úloha 2.1.10
    Zistite, aký uhol zvierajú vektory \vec u, \vec v , ak \|\vec u\| = 2, \|\vec v\| = 4 a \vec a=\vec u + \vec v ; \vec b=3\vec u sú na seba kolmé.
  2. Úloha 2.1.11
    Určte veľkosť vnútorného uhla pri vrchole \small A v trojuholníku \small ABC, ak \small A[0; 1], \small B[\sqrt{3}; 0]$, $C[0; 3].
  3. Úloha 2.1.12
    Daný je trojuholník \small ABC. Vypočítajte skalárny súčin  \small \vec{a} \cdot \vec{b}, ak \small \vec{a} = \vec{B} - \vec{A},\small \vec{b} = \vec{C} - \vec{B}, \quad |BC| = 5, \small |AC| = 6, \quad |AB| = 7.
Riešenia.
  1. Úloha 2.1.10
    Keďže vektory \vec a=\vec u+\vec v, \quad \vec b=3\vec u sú na seba kolmé, ich skalárny súčin je nulový: \vec a\cdot\vec b=0.
    Dosadením dostaneme (\vec u+\vec v)\cdot 3\vec u=0, teda 3\vec u\cdot\vec u+3\vec v\cdot\vec u=0.
    Po vydelení číslom 3: \|\vec u\|^2+\vec u\cdot\vec v=0.
    Keďže \vec u\cdot\vec v =\vec u\|,\vec v\|\cos\varphi, dostávame 2^2+2\cdot4\cos\varphi=0.
    Odtiaľ 4+8\cos\varphi=0, \quad \cos\varphi=-\frac12.
    Preto \boxed{\varphi=120^\circ}.
  2. Úloha 2.1.11
    Vnútorný uhol pri vrchole \small A je uhlom medzi vektormi \small \overrightarrow{AB} \quad\text{a}\quad \overrightarrow{AC}.
    Z daných súradníc bodov dostaneme \small \overrightarrow{AB} =B-A=(\sqrt{3},-1), \small \overrightarrow{AC} =C-A=(0,2).
    Ich skalárny súčin je \small \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\sqrt{3}\cdot0+(-1)\cdot2=-2.
    Veľkosti vektorov sú \small \|\overrightarrow{AB}\| =\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2, \small \|\overrightarrow{AC}\|=2.
    Pre uhol \alpha medzi vektormi teda platí \cos\alpha =\small { \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {\|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|}} = \frac{-2}{2\cdot2} =-\frac12.
    Odtiaľ \small \boxed{\alpha=120^\circ}.
  3. Úloha 2.1.12
    Z daných vzťahov \small \vec a=\vec B-\vec A, \quad \vec b=\vec C-\vec B dostávame \small \vec a=\overrightarrow{AB}, \quad \vec b=\overrightarrow{BC}.
    Poznáme dĺžky strán trojuholníka \small |AB|=7, \quad |BC|=5, \quad |AC|=6.
    Pre vnútorný uhol \beta pri vrchole \small B použijeme kosínusovú vetu: \small |AC|^2=|AB|^2+|BC|^2 -2|AB|\,|BC|\cos\beta.
    Po dosadení dostaneme \small 6^2=7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cos\beta, teda \small 36=49+25-70\cos\beta.
    Odtiaľ \small  70\cos\beta=38, \quad \cos\beta=\frac{19}{35}.
    Vektor \small \vec a=\overrightarrow{AB} však smeruje do bodu \small B, zatiaľ čo vektor \small \vec b=\overrightarrow{BC} smeruje z bodu \small B.
    Uhol \varphi medzi vektormi \vec a a \vec b je preto doplnkový k uhlu \beta: \small \varphi=180^\circ-\beta. \] Platí teda \(\small \cos\varphi=-\cos\beta=-\frac{19}{35}.
    Skalárny súčin vypočítame: \small \vec a\cdot\vec b =\|\vec a\|\,\|\vec b\|\cos\varphi =7\cdot5\cdot\left(-\frac{19}{35}\right).
    Preto \small \boxed{\vec a\cdot\vec b=-19}.
\( .\)