Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Identifikácia a klasifikácia kužeľosečiek

1. Určte typ kužeľosečky a jej základné vlastnosti pomocou veľkého a malého diskriminantu:
   • $\small  x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$
   • $\small x^2 - 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0$
   • $\small 9x^2 + 4y^2 - 36 = 0$
2. Rozhodnite, či sú nasledujúce kužeľosečky regulárne alebo singulárne:
   • $\small x^2 - 2xy + y^2 = 0$
   • $\small x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$
   • $\small x^2 + 2xy + y^2 + x + y = 0$
3. Kužeľosečka je daná rovnicou:
   $\small 3x^2 + 2xy + 2y^2 - 12x - 4y + 4 = 0$
   • Vypočítajte diskriminant kvadratickej formy a určte typ kužeľosečky.
   • Nájdite jej stred.
4. Rozhodnite o polohe kužeľosečky vzhľadom na súradnicovú sústavu:
   $\small x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$
   Určte stred a polomer kužeľosečky, ak ide o kružnicu.
5. Pre ktoré hodnoty parametra $k$ je rovnica
   $\small x^2 + kxy + y^2 - 2x + 2y - 3 = 0$
   • elipsa,
   • parabola,
   • hyperbola?
6. Určte typ kužeľosečky a jej stred:
   $\small 4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$
7. Rozhodnite, či je kužeľosečka daná rovnicou
   $\small x^2 - 4xy + 4y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$
   degenerovaná. Ak áno, určte typ degenerácie.
8. Vyhľadajte v zbierke Kopka–Tichý: Analytická geometrie príklad s podobnou úlohou a vyriešte ho.

Transformácia na štandardný tvar a výpočty parametrov

1. Transformujte na štandardný tvar a určte parametre kužeľosečky:
   $\small x^2 - 6x + y^2 + 4y - 3 = 0$
2. Preveďte na štandardný tvar:
   $\small 4x^2 + 3xy + 4y^2 - 12x - 12y + 9 = 0$
   Nájdite stred, osi a dĺžky poloosí.
3. Elipsa je daná rovnicou:
   $\small 9x^2 + 16y^2 - 36x + 64y + 4 = 0$
   • Určte súradnice stredu elipsy.
   • Transformujte rovnicu na štandardný tvar.
4. Transformujte nasledujúcu rovnicu hyperboly a určte asymptoty:
   $\small x^2 - xy - y^2 - 2x + 4y - 1 = 0$
5. Určte štandardný tvar paraboly:
   $\small x^2 + 2x - 4y - 1 = 0$
   a vypočítajte súradnice ohniska a rovnicu riadiacej priamky.
6. Transformujte rovnicu na štandardný tvar a určte excentricitu:
   $\small x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0$
7. Vypočítajte uhol otočenia súradnicovej sústavy, ktorým odstránite zmiešaný člen z rovnice kužeľosečky:
   $\small 2x^2 + 3xy + 2y^2 - 4 = 0$
8. Transformujte na štandardný tvar a určte typ kužeľosečky:
   $\small x^2 + xy + y^2 - 5x + 3y = 0$
9. Zistite, či je nasledujúca rovnica regulárna alebo singulárna a upravte ju na štandardný tvar:
   $\small x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$
10. Zo zbierky Effa–Novotný: Úlohy z analytickej geometrie vyberte úlohu na transformáciu kužeľosečky so zmiešaným členom a riešte ju podľa postupu z prednášky.