Analytické vyjadrenie kužeľosečiek

Parabola a hyperbola

  1. Parabola
    • Štandardná rovnica paraboly s osou rovnobežnou s osou o_x je
      \small  y^2 = 2px,
      kde p > 0 je parameter paraboly (vzdialenosť ohniska od vrcholu). Ohnisko má súradnice \small F\left(\frac{p}{2},0\right) a riadiaca priamka má rovnicu: x = -\frac{p}{2}. Excentricita musí byť rovná 1: k =1. Po dosadení súradníc ohniska paraboly dostaneme rovnicu
      \begin{equation} \sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right) ^2 + y^2} = x + \frac{p}{2}. \label{eq:parabola1} \end{equation}
    • Ak vrchol paraboly je bod \small V[m; n] a ohnisko leží na rovnobežke s osou o_x prechádzajúcou bodom \small V, potom vrcholová rovnica paraboly: \begin{equation} (y-n)^2 = 2p(x-m). \label{eq:parabolastred} \end{equation}
    Didaktická poznámka. Pri parabole je vzdialenosť bodu od ohniska a od riadiacej priamky vždy rovnaká, čo je názorné a ľahko overiteľné v dynamickej geometrii.Vytvorte vhodný applet v GeoGebre pre parabolu.
  2. Hyperbola
    • Štandardná rovnica hyperboly s centrom v počiatku a reálnou osou na osi o_x je \begin{equation} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a,b > 0. \end{equation} Pre jej parametre platí:
      e^2 = a^2 + b^2, \quad k = \frac{c}{a} > 1.
    • Ohniská:  \small  F_1(-e,0), F_2(e,0). Riadiace priamky: x = \pm \frac{a}{e}. \ 
      Veta.
      Rozdiel vzdialeností ľubovoľného bodu hyperboly od ohnísk je stály a rovný 2a, pričom konštanta 2a je menšia ako vzdialenosť ohnísk.
    • Podobne ako v časti Elipsa ľahko ukážeme, že stredová rovnica hyperboly má tvar \begin{equation} \frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1. \label{eq:hyperbolastred} \end{equation}
\(\small . \)