Projektívny priestor a kužeľosečky: Elipsa - parametre

Projektívny priestor a kužeľosečky

Interaktívna učebnica

Analytické vyjadrenie kužeľosečiek

Elipsa - parametre

Z analytickej rovnice kužeľosečky môžeme odvodiť jej základné geometrické parametre: polohu ohnísk, excentricitu a rovnice riadiacich priamok. Najprv uvažujme štandardné polohy kužeľosečiek s osou symetrie totožnou s osou

$\small x$ alebo

$\small y$ .
Elipsa
Štandardná rovnica elipsy so stredom v počiatku a veľkou poloosou

$\small a$ na osi

$\small o_x$ má tvar

$\small \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0.$

Veta.
Dokážte, že pre elipsu v štandardnom tvare ohniská majú súradnice:

$\small F_1(-e,0),F_2(e,0)$ a zároveň platí:

$\small e^2 = a^2 - b^2,$

kde

$\small e$ je vzdialenosť ohniska od stredu, ktorú nazveme lineárna excentricita elipsy alebo krátko excentricita elipsy.

Pri riešení úlohy sa budeme zaoberať konkrétnou hodnotou

$\small k=0,8$ . Zovšeobecnenie na ľubovoľnú hodnotu

$\small 0 < k < 1$ prenechávame na čitateľa. Nech kužeľosečka (elipsa) je definovaná metrickou podmienkou

$\frac{\rho(X, F)}{\rho(X, d)} = k.\tag{1}$

Zvoľme si polohu elipsy tak, aby jej stred bol v počiatku, ohnisko v bode

$\small F(e,0)$ a vrcholy elipsy boli v súmerne položených bodoch

$\small A(a,0), B(-a,0)$ . Symbolom

$\small a$ si zatiaľ označíme ako poloos veľkej osi (tak, aby vrchol elipsy na pravej strane mal súradnice

$\small A(a,0)$ ). Takáto voľba je možná lebo elipsa je stredovo súmerný útvar. Pozri obrázok nižšie.
Po dosadení súradníc ohniska a vrcholov do vzťahu (1) dostaneme dve rovnice

$\frac{a-e}{p-a}=k; \qquad \frac{a+e}{a+p}=k,$

kde

$\small p$ označuje hľadanú súradnicu riadiacej priamky

$\small d: \; x=p$ . Riešenie tejto sústavy určuje riadiacu priamku, ktorá bude mať rovnicu

$\small d:\; x=\frac{a}{k}; a>0$ a zrejme je vertikálna na os

$\small o_x$ .

Elipsa v štandardnom tvare

Nech

$\small X=(x,y)$ leží na kužeľosečke. Potom podľa metrickej definície platí

$\small \sqrt{(x-e)^2+y^2}=k\left|x-\frac{a}{k}\right|.\tag{2}$

Pre body, ktorých

$x\le \frac{a}{k}$ , môžeme absolútnu hodnotu vyjadriť explicitne; pri nasledujúcich algebraických úpravách pracujeme s pozitívnymi stranami, takže po umocnení a vhodnej ekvivalentnej úprave dostaneme

$\small (1-k^2)x^2 + (-2e + 2ak)x + (e^2 - a^2 + y^2)=0. \tag{3}$

Teraz využijeme, že vrchol elipsy vpravo

$\small A=(a,0)$ leží na kužeľosečke. Dosadíme

$\small x=a,\ y=0$ do metrickej podmienky (2) a dostaneme:

$\small \sqrt{(a-e)^2} = k\Bigl|\;a-\frac{a}{k}\;\Bigr|.$

Obidve strany sú nezáporné; ľavá strana je

$\small |a-e|$ . Pre elipsu platí

$\small a-e>0$ a pravá strana sa rovná

$\small k\Bigl(\frac{a}{k}-a\Bigr)=a-ak.$ Dostávame rovnosť

$\small a-e = a - a k \quad\Longrightarrow\quad e = a k. \tag{4}$

Rovnica (4) je zásadná. Z nej vyplýva, že stredný člen v rovnosti (3) sa anuluje, lebo

$\small -2e+2ak = -2ak + 2ak = 0$ . Po dosadení

$\small e = ak$ sa (2) zjednoduší na

$\small (1-k^2)x^2 + (e^2 - a^2) + y^2 = 0.$

Teraz upravíme konštantný člen:

$\small (1-k^2)x^2 + y^2 = a^2 - e^2.$

Pretože

$\small 1-k^2>0$ (lebo \(\small 0 \[ b^2 := a^2(1-k^2) = a^2 - a^2k^2. \] Keďže podľa (2) platí

$\small e = ak$ , máme

$\small a^2k^2 = e^2$ , teda

$\small b^2 = a^2 - e^2.$

Dosadením dostávame rovnicu elipsy v štandartnom tvare

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a\ge b>0.$

Z predchádzajúcej identity

$\small b^2 = a^2 - e^2$ vyplýva (pre pomenovanie

$e$ ako lineárnej excentricity) požadovaný vzťah

$\small \boxed{e^2 = a^2 - b^2.} \tag{5}$

Poznámka.
Kľúčovým momentom dôkazu bolo dosadenie súradníc vrcholu

$\small A(a,0)$ , čo nám umožnilo bez dodatočného predpokladu vyjadriť

$\small e$ pomocou

$\small a$ a

$\small k$ (vzťah

$\small \;e=a k\;$ ). Tento krok je legitímny, lebo

$\small a$ sme zaviedli ako absolútnu hodnotu

$\small x$ -súradnice pravého vrcholu elipsy (teda ako hodnotu, ktorá skutočne patrí elipse), a preto jej súradnice musia spĺňať metrickú definíciu. Rovnosť (4) by sme mohli odvodiť aj dosadením súradníc vedľajšieho vrcholu elipsy