Analytické vyjadrenie kužeľosečiek

Elipsa - parametre

Z analytickej rovnice kužeľosečky môžeme odvodiť jej základné geometrické parametre: polohu ohnísk, excentricitu a rovnice riadiacich priamok. Najprv uvažujme štandardné polohy kužeľosečiek s osou symetrie totožnou s osou \small x alebo \small y.
Elipsa
Štandardná rovnica elipsy so stredom v počiatku a veľkou poloosou \small a na osi \small o_x má tvar
\small  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0.
Veta.
Dokážte, že pre elipsu v štandardnom tvare ohniská majú súradnice: \small F_1(-e,0),F_2(e,0) a zároveň platí:
\small e^2 = a^2 - b^2,
kde \small e je vzdialenosť ohniska od stredu, ktorú nazveme lineárna excentricita elipsy alebo krátko excentricita elipsy.
Pri riešení úlohy sa budeme zaoberať konkrétnou hodnotou \small k=0,8. Zovšeobecnenie na ľubovoľnú hodnotu \small 0 < k < 1 prenechávame na čitateľa. Nech kužeľosečka (elipsa) je definovaná metrickou podmienkou
\frac{\rho(X, F)}{\rho(X, d)} = k.\tag{1} 
Zvoľme si polohu elipsy tak, aby jej stred bol v počiatku, ohnisko v bode \small F(e,0) a vrcholy elipsy boli v súmerne položených bodoch \small A(a,0), B(-a,0). Symbolom \small a si zatiaľ označíme ako poloos veľkej osi (tak, aby vrchol elipsy na pravej strane mal súradnice \small A(a,0)). Takáto voľba je možná lebo elipsa je stredovo súmerný útvar. Pozri obrázok nižšie.
Po dosadení súradníc ohniska a vrcholov do vzťahu (1) dostaneme dve rovnice
\frac{a-e}{p-a}=k; \qquad \frac{a+e}{a+p}=k,
kde \small p označuje hľadanú súradnicu riadiacej priamky \small d: \; x=p. Riešenie tejto sústavy určuje riadiacu priamku, ktorá bude mať rovnicu \small d:\; x=\frac{a}{k}; a>0 a zrejme je vertikálna  na os \small o_x.   

Elipsa v štandardnom tvare
Nech \small X=(x,y) leží na kužeľosečke. Potom podľa metrickej definície platí
\small  \sqrt{(x-e)^2+y^2}=k\left|x-\frac{a}{k}\right|.\tag{2}
Pre body, ktorých x\le \frac{a}{k}, môžeme absolútnu hodnotu vyjadriť explicitne; pri nasledujúcich algebraických úpravách pracujeme s pozitívnymi stranami, takže po umocnení a vhodnej ekvivalentnej úprave dostaneme 
\small  (1-k^2)x^2 + (-2e + 2ak)x + (e^2 - a^2 + y^2)=0. \tag{3}
Teraz využijeme, že vrchol elipsy vpravo \small A=(a,0) leží na kužeľosečke. Dosadíme \small x=a,\ y=0 do metrickej podmienky (2) a dostaneme:
\small  \sqrt{(a-e)^2} = k\Bigl|\;a-\frac{a}{k}\;\Bigr|.
Obidve strany sú nezáporné; ľavá strana je \small |a-e|. Pre elipsu platí \small  a-e>0 a pravá strana sa rovná \small k\Bigl(\frac{a}{k}-a\Bigr)=a-ak. Dostávame rovnosť
\small  a-e = a - a k \quad\Longrightarrow\quad e = a k. \tag{4}
Rovnica (4) je zásadná. Z nej vyplýva, že stredný člen v rovnosti (3) sa anuluje, lebo \small -2e+2ak = -2ak + 2ak = 0. Po dosadení \small e = ak sa (2) zjednoduší na
\small  (1-k^2)x^2 + (e^2 - a^2) + y^2 = 0.
Teraz upravíme konštantný člen:
\small  (1-k^2)x^2 + y^2 = a^2 - e^2.
Pretože \small 1-k^2>0 (lebo \(\small 0 \[ b^2 := a^2(1-k^2) = a^2 - a^2k^2. \] Keďže podľa (2) platí \small e = ak, máme \small a^2k^2 = e^2, teda
\small  b^2 = a^2 - e^2.
Dosadením dostávame rovnicu elipsy v štandartnom tvare
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a\ge b>0.
Z predchádzajúcej identity \small b^2 = a^2 - e^2 vyplýva (pre pomenovanie e ako lineárnej excentricity) požadovaný vzťah
\small  \boxed{e^2 = a^2 - b^2.} \tag{5}
Poznámka.
Kľúčovým momentom dôkazu bolo dosadenie súradníc vrcholu \small A(a,0), čo nám umožnilo bez dodatočného predpokladu vyjadriť \small e pomocou \small a a \small k (vzťah \small \;e=a k\;). Tento krok je legitímny, lebo \small a sme zaviedli ako absolútnu hodnotu \small x-súradnice pravého vrcholu elipsy (teda ako hodnotu, ktorá skutočne patrí elipse), a preto jej súradnice musia spĺňať metrickú definíciu. Rovnosť (4) by sme mohli odvodiť aj dosadením súradníc vedľajšieho vrcholu elipsy \small C(0,b).
Veta.
V elipse existujú dve rôzne ohniská \small F_1,F_2, pričom súčet vzdialeností ľubovoľného bodu \small X elipsy od oboch ohnísk je konštantný a rovný dvojnásobku hlavnej poloosi \small 2a. \begin{equation} \left|F_1X \right| +\left|F_2X \right| =2a \end{equation}
Stredová rovnica elipsy.
Ak stred elipsy je bod \small S[m; n] a ohniská ležia na rovnobežke s osou x prechádzajúcou bodom \small S, potom stredová rovnica elipsy je daná vzťahom: \begin{equation} \frac{(x - m)^2}{a^2} + \frac{(y - n)^2}{b^2} = 1 \tag{5} \end{equation}
\( .\)