Analytické vyjadrenie kužeľosečiek

Pri odvodení analytického vyjadrenia kužeľosečky sa sústredíme na kužeľosečky z pohľadu množiny bodov danej vlastnosti. Budeme vychádzať z metrickej definície kužeľosečky, ktorá ju charakterizuje konštantným podielom vzdialeností:
\frac{\rho(X, F)}{\rho(X, d)} = k.\tag{1} 

Elipsa v karteziánskej súradnej sústave. Otvorte súbor Tu alebo Tu.
Zvoľme karteziánsku súradnú sústavu (KSS) tak, aby súradnicová os \small o_x prechádzala bodom \small F[f; 0] a bola kolmá na priamku\small d s rovnicou \small x =c. Nech \small X[x,y] je ľubovoľný bod kužeľosečky. Pri takto zvolenej KSS bude pre \small k> 0 
\begin{equation} d : x = c,\quad F[f; 0] ,\quad f = c + p.\tag{2} \end{equation}  Bod \small F budeme nazývať ohnisko, priamku \small d riadiaca priamka a číslo \small k > 0  numerická excentricita resp. numerická výstrednosť kužeľosečky. Vzdialenosť \small p ohniska od riadiacej priamky nazveme parameter kužeľosečky. 
Vzdialenosť ohniska od stredu kužeľosečky označíme \small e a nazveme lineárna excentricita alebo krátko excentricita elipsy. Pozri obrázok, ktorý predstavuje elipsu s numerickou výstrednosťou \small k=0,8. 
Vzťah (1) po dosadení hodnôt (2) môžeme upraviť na tvar \small \frac{\sqrt{(x-f)^2 + y^2}}{|x-c|} = k. Umocnením a úpravou dostaneme
\small (x-f)^2 + y^2 = k^2 (x-c)^2.
resp. rovnicu
\small \label{eq:vseobecnakuzelosec} x^2(1-k^2)-2(f-k^2c)x+y^2+f^2-k^2c^2=0 .
Ide o všeobecnú rovnicu kužeľosečky, ktorá predstavuje kvadratickú formu o dvoch premenných. Tvar resp. druh kužeľosečky závisí od kladnej hodnoty \small k > 0. Konkrétne pre   \small 0 < k < 1 kužeľosečka je elipsa,  pre \small k = 1 je parabola a pre \small k > 1 je hyperbola.
\( .\)