Samodružné prvky

Transformácia bodu
  1. Nech kolineácia \small \varphi je daná regulárnou maticou \small M
    \small M=\left(\begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix}\right).
    Pripomíname, že kolineácia je v zmysle definície bijektívne zobrazenie projektívnej roviny.
  2. Potom obraz bodu \small X s homogénnymi súradnicami (\small (x, y, z)\) je bod \small X' s homogénnymi súradnicami \small (x', y', z'), pre ktoré platí
    \small \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = M \times \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}.  \tag{1}
    Ak tento vzťah napíšeme po zložkách, dostávame
    \small \begin{equation} \begin{aligned} x' &= m_{11}x + m_{12}y + m_{13}z,\\\\ y' &= m_{21}x + m_{22}y + m_{23}z,\\\\ z' &= m_{31}x + m_{32}y + m_{33}z. \end{aligned} \end{equation} \tag{2}
    Takto zapísané rovnice opisujú, ako sa obraz bodu v projektívnej rovine určí pomocou lineárnej transformácie reprezentovanej maticou \small M.
Definícia (Samodružný bod).
Bod \small X sa nazýva samodružným (invariantným) bodom kolineácie \small \mathcal{K}, ak je totožný so svojím obrazom v tejto kolineácii. Zhodne sa definuje samodružnosť priamky.
Nech bod \small X je samodružným bodom kolineácie \small \varphi a nech má reprezentanta \small (x; y; z). Označme jeho obraz \small X'(=X), ktorý má reprezentanta \small (\lambda x;\lambda y;\lambda z) s nejakým \small \lambda \neq 0. Pre súradnice tohto samodružného bodu \small X musí platiť
\small \begin{equation} \lambda X = M X, \end{equation} \tag{3}
kde \small M je regulárna matica (1) kolineácie \small \varphi. Vzťah (4) (po vhodnej úprave) predstavuje sústavu homogénnych lineárnych rovníc
\small \begin{aligned} (m_{11}-\lambda)x  &\;+ &m_{12}y \quad &\;+ &m_{13}z=0 \\ m_{21}x  &\;+ &(m_{22}-\lambda)y  &\;+ &m_{23}z=0 \\ m_{31}x &\;+ &m_{32}y  &\;+ &(m_{33}-\lambda) z=0 \end{aligned} \tag{4}
čo v maticovom zápise je \small (M - \lambda I)X = 0.
Determinant \small det(M - \lambda I)=0 určuje charakteristický polynóm matice \small M; jeho korene sú vlastné čísla \small \lambda. Pre každé také \small \lambda riešime lineárnu sústavu \small (M - \lambda I)X = 0. Riešenie predstavuje vektor = súradnice samodružného bodu.
Odvodenie rovnice samodružnej priamky
Kolineácia \small \varphi je zobrazenie roviny, ktoré zachováva kolineárnosť bodov, teda obraz priamky je opäť priamka. Nech je kolineácia \small \varphi daná maticou \small M a nech \small X' = MX vyjadruje obraz bodu \small X v homogénnych súradniciach. Ak bod \small X(x,y,z) leží na priamke \small p:a x + b y + c z = 0 , tak je splnená rovnosť
\small a x + b y + c z = 0.
V kolineácii jeho obraz \small X'(x',y',z') leží na obraze priamky
\small a' x' + b' y' + c' z' = 0.
Dosadíme za \small (x',y',z') výrazy z rovnice (2) a dostaneme:
\small a'(m_{11}x + m_{12}y + m_{13}z) + b'(m_{21}x + m_{22}y + m_{23}z) + c'(m_{31}x + m_{32}y + m_{33}z) = 0.
Roznásobením} a zoskupením členov podľa \small x,y,z vznikne rovnica:
\small (a' m_{11} + b' m_{21} + c' m_{31})x + (a' m_{12} + b' m_{22} + c' m_{32})y + (a' m_{13} + b' m_{23} + c' m_{33})z = 0. \tag{7}
Pri podrobnejšom preštudovaní tejto rovnice zistíme, že koeficienty pri premenných \small x,y,z) odpovedajú koeficientom v stĺpcoch matice kolineácie \small M.
Porovnajme teraz túto rovnicu s pôvodnou rovnicou priamky \small a x + b y + c z = 0 a dostaneme sústavu rovníc
\small \begin{equation} \begin{cases} a = a' m_{11} + b' m_{21} + c' m_{31}, \\\\ b = a' m_{12} + b' m_{22} + c' m_{32}, \\\\ c = a' m_{13} + b' m_{23} + c' m_{33}. \end{cases} \tag{8} \end{equation}
Z definície samodružnosti priamky vyplýva, že existuje nenulové \small \mu \neq 0 a zároveň platí \small (a,b,c)=(\mu a',\mu b',\mu c'). Koeficienty musia byť úmerné, teda rovnaké až na nenulový násobok \small \mu. Po dosadení do sústavy (8) a prevedením tejto sústavy na homogénnu dostaneme
\small \begin{equation} \begin{cases} (m_{11}-\mu)a' + b' m_{21} + c' m_{31}=0, \\\\ m_{12}a' + (m_{22}-\mu)b' + c' m_{32}=0, \\\\ m_{13}a' + b' m_{23} + (m_{33}-\mu)c'=0. \tag{9} \end{cases} \end{equation}
Prepis do maticového tvaru a po transpozícii oboch strán dostaneme
\small (M^T - \mu I)A' = 0: \small (M^T - \mu I) \begin{pmatrix} a'\\ b'\\ c' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. \tag{10}
Determinant \small det(M^T - \mu I)=0 určuje charakteristický polynóm matice \small M^T. Jeho korene sú vlastné čísla \small \mu. Pre každé také \small \mu riešime lineárnu sústavu \small (M^T - \mu I)X = 0. Riešenie predstavuje vektor = koeficienty samodružnej priamky. Vzťah (10) ukazuje, že priamky sa pri kolineácii transformujú transponovanou maticou \small M^T , čo zabezpečuje zachovanie incidencie medzi bodmi a priamkami. Tento vzťah má rovnakú formu ako pri samodružných bodoch, len namiesto vlastných vektorov matice \small M^T vystupujú vlastné kovektory matice \small M^T. Pri priamkach ide o zachovanie incidencie a teda o použitie transpozície.
\(\small . \)