Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

1. Zapíšte dané údaje v homogénnych súradniciach:
   $\small  P = [-3,2,1],\; Q = [5,-1,1],\; S = [3,1,1],\; A = [1,-1,1],\; A' = [0,-2,1]$.

1. Uvažujte všeobecnú projektívnu maticu kolineácie:
   $\small  M = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9\end{pmatrix},$
   kde $\small x_i$ sú neznáme reálne čísla. Matica je určená až na skalárny násobok (projektívne).
2. Využijeme podmienky kolineácie:
   • body osi $\small P, Q$ sú fixné: $\small  M P \sim P,\; M Q \sim Q$,
   • stred $\small S$ je vlastný: $\small  M S \sim S$,
   • bod $\small A$ má obraz $\small A'$: $\small  M A \sim A'$.
   Každá podmienka $\small  M X \sim Y$ znamená, že existuje skalár $\small kX$, pre ktorý platí $\small M X = k_x Y$. Táto rovnosť poskytuje tri nezávislé lineárne rovnice pre prvky matice $\small M$ a bod $\small X[x,y,z]$.
3. Dostaneme sústavu lineárnych rovníc: (pre každý bod 3 rovnice, spolu 12 rovníc)
   Pre bod $\small P$ : $\small  \left\{ -3x_1 + 2x_2 + x_3 = -3kP, -3 \; x_4 + 2x_5 + x_6 = 2kP, -3x_7 + 2x_8 + x_9 = kP\right\}$ 
   Pre bod $\small Q$: $\small  \left\{ 5x_1 - x_2 + x_3 = 5kQ, 5x_4 - x_5 + x_6 = -kQ, 5x_7 - x_8 + x_9 = kQ \right\}$
   Pre stred $\small S$: $\small  \left\{ 3x_1 + x_2 + x_3 = 3kS, 3x_4 + x_5 + x_6 = kS, 3x_7 + x_8 + x_9 = kS \right\}$
   Pre bod $\small A$: $\small \left\{ x_1 - x_2 + x_3 = 0, x_4 - x_5 + x_6 = -2kA, x_7 - x_8 + x_9 = kA\right\}$
4. Dostaneme 12 homogénnych lineárnych rovníc s 13 neznámymi. Sústavu sme vyriešili v GeoGebre pomocou vzhľadu CAS a dostali sme 1-parametrické riešenie (parameter $\small kS$).
   $\small x_1 = \frac{45}{46} \; kS, \;\;x_2 = \frac{12}{23} \; kS,\;\; x_3 = \frac{-21}{46} \; kS$
   $\small x_4 = \frac{3}{46} \; kS, \;\;x_5 = \frac{22}{23} \; kS, \;\;x_6 = \frac{-7}{46} \; kS$
   $\small x_7 = \frac{3}{46} \; kS, \;\;x_8 = \frac{4}{23} \; kS, \;\;x_9 = \frac{29}{46} \; kS$
   $\small kA = \frac{12}{23} \; kS, \;\;kP = \frac{18}{23} \; kS, \;\;kQ = \frac{18}{23} \; kS .$
   Pozrite si  riešenie Tu.
5. Výsledkom sú matice projektívne ekvivalentné

Záver:
Získaná matica $\small Msol$ určuje perspektívnu kolineáciu s daným stredom $\small S$, osou $\small o = PQ$ a predpísanou zmenou bodu $\small A \mapsto A'$. Metóda využíva jednoduché lineárne podmienky a je analogická postupu určovania afinných zobrazení z korešpondencie bodov (simplexov).