Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Zadanie (Riešený príklad - os mimobežiek).
V euklidovskom modeli projektívneho priestoru $\small \overline{\mathbb{E}}_3$ uvažujme dve mimobežné (skew) priamky:
$\small p: \; X= {A} + s\vec{u}, \quad {A}=(0,0,0),\ \vec{u}=(1,0,1),$
$\small q: \;  X={B} + t\vec{v}, \quad {B}=(0,1,0),\ \vec{v}=(0,1,1).$
Nájdite priečku (common perpendicular) – priamku, ktorá je kolmá zároveň na $\small p$ aj na $\small q$, a určte jej parametrické rovnice.

Riešenie (kroky):

1. Myšlienka: Ak je priečka spojením bodov $\small P \in p; Q \in q$, potom vektor $\small \overrightarrow{PQ}$ musí byť kolmý na smerové vektory $\small \vec{u}; vec{v}$. Označme:
   $\small P = {A} + s\vec{u}, \quad Q = {B} + t\vec{v}.$
   Požadujeme:
   $\small ({P} - {Q}) \cdot \vec{u} = 0, \quad (\small {P} - {Q}) \cdot \vec{v} = 0.$
2. Napíšeme sústavu:
   $\small ({A} + s\vec{u} - {B} - t\vec{v}) \cdot \vec{u} = 0.$
   $\small ({A} + s\vec{u} - {B} - t\vec{v}) \cdot \vec{v} = 0.$
   Použijeme $\small {A}=(0,0,0), {B}=(0,1,0), \vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(0,1,1)$.
3. Vypracovanie sústavy: Nech $\small \vec{w} = {A} - {B} = (0,-1,0)$. Potom: $\small {A} + s\vec{u} - {B} - t\vec{v} = \vec{w} + s\vec{u} - t\vec{v}=(s,-1-t,s-t).$ 
   Po dosadení
   $\small (s,-1-t,s-t) \cdot (1,0,1) = 0.$
   $\small (s,-1-t,s-t) \cdot (0,1,1) = 0.$
   Sústava skalárnych rovníc dáva riešenie: $\small s = -\frac{1}{3}, \quad t = -\frac{2}{3}.$
4. Nájdenie bodov $\small P$ a $\small Q$:
   $\small P = {A} + s\vec{u} = \left(-\frac{1}{3},\,0,\,-\frac{1}{3}\right),$
   $\small Q = {B} + t\vec{v} = \left(0,\,\frac{1}{3},\,-\frac{2}{3}\right).$
   Vektor $\small \overrightarrow{PQ} = Q - P = \left(\frac{1}{3},\,\frac{1}{3},\,-\frac{1}{3}\right)$, ktorý po vynásobení 3 dá smerový vektor $(1,1,-1)$.
5. Rovnice priečky: Priečka $m$ má parametrické rovnice: $\small m: \; {X} = \left(-\frac{1}{3},\,0,\,-\frac{1}{3}\right) + \lambda (1,1,-1)$
   $\small x= -\frac{1}{3} + \lambda,$
    $\small y= \; \;0 + \lambda,$
   $\small z=-\frac{1}{3} - \lambda .$
   Overenie: $\small \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{u} = 0$ a $\small \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} = 0$.

Neriešená úloha.

Nech $\small p$ prechádza bodom $\small A=(1,0,2)$ so smerovým vektorom $\small \vec{u}=(2,-1,1)$ a $\small q$ prechádza bodom $\small B=(0,2,1)$ so smerovým vektorom $\small \vec{v}=(1,1,2)$. Určite priečku týchto mimobežných priamok (ak existuje): nájdite body $\small P \in p$, $\small Q \in q$ a parametrické rovnice priamky $m$ tak, aby $\small \overrightarrow{PQ}$ bol kolmý na $\vec{u}$ aj na $\vec{v}$.

Tip: postupujte rovnakým spôsobom ako v riešenom príklade (nastavte parametre $s,t$ a riešte dve skalárne podmienky).