Homogénna súradnicová sústava

Príklad kolineácie

Cvičenie.
Určte maticu stredovej kolineácie, ktorá je určená stredom \small S, osou \small o=PQ a dvojicou odpovedajúcich bodov \small A,A'. Applet Tu.
Výpočet matice transformácie simplexovou metódou.
  1. Zapíšte dané údaje v homogénnych súradniciach:
    \small  P = [-3,2,1]^T,\; Q = [5,-1,1]^T,\; S = [3,1,1]^T,\; A = [1,-1,1]^T,\; A' = [0,-2,1]^T .
  2. Uvažujte všeobecnú projektívnu maticu kolineácie:
    \small  M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix},
    kde \small a, b, \ldots, i sú neznáme reálne čísla. Matica je určená až na skalárny násobok (projektívne).
  3. Využite podmienky kolineácie:
    • body osi \small P, Q sú fixné: \small  M P \sim P,\; M Q \sim Q ,
    • stred \small S je vlastný: \small  M S \sim S ,
    • bod \small A má obraz \small A': \small  M A \sim A' .
    Komentár: Každá podmienka \small  M X \sim Y znamená, že existuje skalár \small k_X, pre ktorý platí \small M X = k_X Y . Táto rovnosť poskytuje dve nezávislé lineárne rovnice pre prvky matice \small M.
  4. Zostavte sústavu lineárnych rovníc pre prvky matice M:
    Pre bod \small P: \small  \begin{cases} -3a + 2b + c = k_P(-3) \\ -3d + 2e + f = k_P(2) \\ -3g + 2h + i = k_P(1) \end{cases}
    Pre bod \small Q: \small  \begin{cases} 5a - b + c = k_Q(5) \\ 5d - e + f = k_Q(-1) \\ 5g - h + i = k_Q(1) \end{cases}
    Pre stred \small S: \small  \begin{cases} 3a + b + c = k_S(3) \\ 3d + e + f = k_S(1) \\ 3g + h + i = k_S(1) \end{cases}
    Pre bod \small A: \small \begin{cases} a - b + c = k_A(0) = 0 \\ d - e + f = k_A(-2) \\ g - h + i = k_A(1) \end{cases}

    Z týchto štyroch maticových rovníc dostaneme 12 homogénnych lineárnych rovníc s 13 neznámymi. Nenulové riešenie za určitých predpokladov existuje a každé iné je jeho násobkom. 
    V našom príklade sústava má 8 nezávislých rovníc (tretie v každej skupine je závislé), čo určí maticu do projektívneho faktora. Neznáme sú a,\ldots,i a pomocné skaláre \small k_P, k_Q, k_S, k_A. Riešte sústavu pre a,\ldots,i. Po riešení (napr. v GeoGebre CAS si pozrite riešenie Tu) dostaneme maticu projektívne ekvivalentnú.
  5. Riešenie je určené ako lineárna kombinácia dvoch parametrov \small k_A,k_S — neznámych, ktoré môžete voliť ľubovoľne.
    M_{\text{Sol}} = k_A \cdot M_A + k_S \cdot M_S + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ g & h & i \end{pmatrix}
    To znamená, že riešenie sústavy (hľadanie matice transformácie resp. kolineácie) má 2 stupne voľnosti. Riešenie je 2-parametrická rodina matíc!
    Poznámky.
    V projektívnej geometrii sú takéto parametre často výsledkom toho, že podmienky definujú iba tvar zobrazenia, nie jeho mierku/rozmery.  Preto je miera voľnosti kladná a môžeme zvoliť hodnoty, ktoré sú výhodné:
    1. 0 alebo 1 pre jednoduché testovanie,
    2. alebo také, ktoré dávajú pekné čísla v matici.
    Záver:
    Získaná matica \small M určuje perspektívnu kolineáciu s daným stredom \small S, osou \small o = PQ a predpísanou zmenou bodu \small A \mapsto A'. Metóda využíva jednoduché lineárne podmienky a je analogická postupu určovania afinných zobrazení z korešpondencie bodov (simplexov).
    Za nájdenie (určenie)p matice kolineácie z tohto cvičenia získate 2 plusové body.
\( .\)
Ukážka variabilnej matice stredovej kolineácie, v ktorej môžete meniť vstupné hodnoty. Applet si otvoríte Tu.  Príklad stredovej kolineácie Tu.
Vypracujte odpovede do pracovného listu, ktorý si stiahnite Tu.
\( .\)