Priamka v projektívnej rovine

Priečka mimobežiek - návod

Príklad. Určte vzdialenosť dvoch mimobežiek. (Pozrite si prácu [Eduard Čech: Základy analytické geometrie, online PDF § 42, str. 109: Vzdálenost dvou mimoběžek ], v príklade je použitá pôvodná symbolika) 

Nech prvá mimobežka je určená bodom \small P a vektorom \small \mathbf{A}, druhá mimobežka bodom \small Q a vektorom \small \mathbf{B}. Body na mimobežkách majú tvar \small P + x\mathbf{A}, \quad Q + y\mathbf{B} .  Je potrebné vypočítať čísla \small x a \small y.

Vektor \small (Q + y\mathbf{B}) - (P + x\mathbf{A}) je kolmý na vektory \small \mathbf{A} aj \small \mathbf{B}. Preto platí
\small \bigl((Q+ y\mathbf{B})-(P + x\mathbf{A})\bigr)\cdot \mathbf{A} = 0,\qquad \bigl((Q+ y\mathbf{B})-(P + x\mathbf{A})\bigr)\cdot \mathbf{B} = 0.
Teda dostávame sústavu:
\small x\,(\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}) - y\,(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}) = (Q-P)\cdot \mathbf{A},
\small x\,(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}) - y\,(\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}) = (Q-P)\cdot \mathbf{B}.
Keďže vektory \small \mathbf{A}, \mathbf{B} sú lineárne nezávislé, determinant sústavy
\small \begin{vmatrix} \mathbf{A}^2 & -(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})\\ \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} & -\mathbf{B}^2 \end{vmatrix} \neq 0,
a preto možno z posledných dvoch rovníc vypočítať čísla \small x a \small y.

Vzdialenosť dvoch mimobežiek je potom rovná vzdialenosti nájdených bodov   \small P + x\mathbf{A},\quad Q + y\mathbf{B}.
\( .\)