Kružnica v projektívnej rovine

Kvadratická forma

Homogénna kvadratická forma, ktorá reprezentuje kužeľosečku (kuniku) v projektívnej rovine sa dá zapísať ako maticový súčin
[KvadFor]
\small \mathbf{x}^T Q \,\mathbf{x} = 0,
kunika
kde \small Q je reálna symetrická matica
\small \mathbf Q=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array}\right)
a \small \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) je projektívny bod patriaci danej kvadratickej forme. Po prevedení maticového súčinu dostaneme všeobecnú rovnicu kvadratickej formy [KvadFor]. Všeobecná homogenizovaná kvadratická rovnica kužeľosečky  má tvar
[VseoKuz]
\small a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + a_{22}y^2 + 2a_{23}yz + a_{33}z^2 = 0.
všeobecná rovnica
Príklady kvadratických foriem so stredom v bode  [0,0,1]. Pozrite si dynamickú ukážku Tu.
Q_{\text{kružnica}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 - r^2 z^2 = 0
Q_{\textbf{elipsa}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{b^2} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - z^2 = 0
Q_{\textbf{hyperbola}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -a^2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad x^2 - y^2 - a^2 z^2 = 0
Q_{\textbf{parabola}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\tfrac{1}{2p} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\tfrac{1}{2p} & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad y^2 - 2p\,x z = 0
V projektívnej rovine je každá kružnica kvadratická krivka, ktorá prechádza izotropickými bodmi. Hľadáme koniku (kužeľosečku), ktorá prechádza bodmi
\small [I = [1;i;0], \qquad J = [1;-i;0], \qquad A = [0;r;1].
To znamená, že súradnice týchto bodov musia vyhovovať maticovému súčinu [KvadFor]. Postupne určíme:
  1. Podmienky pre izotropické body
    Dosadíme \small I = (1,i,0):
    \small (1,i,0)\,Q\,(1,i,0)^T = a_{11} + 2i a_{12} + a_{22} i^2= a_{11} - a_{22} + 2i a_{12} = 0.
    Podobne pre \small J=(1,-i,0) bude
    \small a_{11} - a_{22} - 2i a_{12} = 0.
    Z týchto dvoch podmienok dostávame
    \small a_{11} = a_{22}, \qquad a_{12} = 0.
  2. Zredukovaný tvar matice
    Po dosadení týchto podmienok má matica \small Q tvar
    \small Q = \mathbf X=\left( \begin{array}{ccc} a & 0 & a_{13} \\ 0 & a & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array}\right), \qquad a:=a_{11}=a_{22}.
  3. Podmienka pre bod \small A=[0;r;1]
    Dosadíme \small A=(0,r,1) do \small \mathbf{x}^T Q \mathbf{x} = 0:
    \small (0,r,1)\,Q\,(0,r,1)^T= a r^2 + 2 a_{23} r + a_{33} = 0.
    Teda platí lineárna väzba
    .
    \small a r^2 + 2 a_{23} r + a_{33} = 0.
    \small (\ast)
  4. Normalizácia a voľné parametre
    Matica \small Q má po zavedení podmienok zredukovaný tvar, pričom koeficienty \small a,a_{13},a_{23},a_{33} spĺňajú lineárnu väzbu \small (\ast). Po započítaní projektívnej škály (násobenie matice \small Q nenulovým číslom nemení kužeľosečku) ostáva ešte jedna voľnosť. To znamená, že trojica bodov \small I,J,A určuje rodinu kužeľosečiek.
Cvičenie.
Nech je daná kružnica stredom v počiatku súradnej sústavy a reálnym bodom tejto kružnice \small A = [0 ; r ; 1] . Ukážte, že homogenizovaná rovnica kružnice je \small x² + y² - r² z² = 0.

Pozrite si učebnicu, str. 74. V afinnej rovine (\small z = 1) dostávame známu rovnicu kružnice: 

[k]
\small x² + y² = r² .
.

Vzhľadom na symetriu izotropických bodov, je zrejmé, že stred kružnice prechádzajúcej izotropickými bodmi musí ležať na súradnej osi \small O_x. Pozrite si obrázok Kružnica prechádzajúca bodom. 


Obr. Kružnica prechádzajúca bodom. Applet si stiahnete Tu.

Takto sme určili rovnicu kružnice prechádzajúcu daným reálnym bodom a izotropickými bodmi na nekonečne.

Poznámky.
Izotropické body zabezpečujú, že všetky kružnice v projektívnej rovine patria do tej istej triedy kvadratických kriviek. V tzv. konformnej projektívnej geometrii (napr. v modeli Cayley-Klein) zohrávajú izotropické body úlohu spoločných bodov všetkých kružníc a umožňujú definovať metrické pojmy ako pravý uhol alebo dĺžku pomocou čisto projektívnych nástrojov.izotropické body zabezpečujú, že všetky kružnice v projektívnej rovine patria do tej istej triedy kvadratických kriviek.
\( .\)