Kolineácia projektívnej roviny

Matica kolineácie

Pre body projektívnej roviny \small \overline{\mathbb{E}}_2 definujeme zobrazenie (transformáciu) tejto projektívnej roviny \small T_k , ktoré bude zobrazovať body \small P(p_1, p_2, p_3) \in \overline{\mathbb{E}}_2 pomocou obrazov súradníc. Nech \small \mathcal{K} je regulárna matica stupňa 3. Potom obrazom bodu \small P v zobrazení \small T_k budeme rozumieť bod \small Q(q_1, q_2, q_3) \in \overline{\mathbb{E}}_2 , pre ktorý platí:
(*) \small \quad \left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{matrix}\right)
Budeme teda skúmať zobrazenie, ktoré bude zobrazovať trojice reálnych čísel na trojice reálnych čísel. Symbolicky \small T_c: \;\mathbf R^3 \rightarrow \mathbf R^3  je zobrazenie definované rovnosťou (*). Zobrazenie \small T_k má nasledovné vlastnosti
  1. Ak \small ( p_1, p_2, p_3) \neq (0,0,0) , tak aj \small ( q_1, q_2, q_3) \neq (0,0,0) .
  2. \small T_k(\lambda p_1, \lambda p_2, \lambda p_3) =( \lambda q_1, \lambda q_2, \lambda q_3)=\lambda (q_1, q_2, q_3) , trojici homogénnych súradníc bodu \small P priradí trojicu homogénnych súradníc bodu \small Q .
  3. Lineárnu kombináciu usporiadaných trojíc zobrazí opäť na ich lineárnu kombináciu.
Hovoríme, že zobrazenie \small T_k je analytickým vyjadrením kolineácie a daná kolineácia je určená maticou
\small \mathcal{K}=\left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix}\right)
Riešený príklad (Určenie matice kolineácie).
Dané sú (po troch nekolineárne) body \small A, B, C, D , ktorých homogénne súradnice sú \small A = (1, 0, -1), B = (1, 1, 0), \small C = (1, 0, 1), D = (1, -1, 0) . Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod \small A na bod \small B , \small B na \small C , \small C na \small D a \small D na \small A .
Riešenie.
  1. Rovnice (a teda aj maticu) kolineácie \small \mathcal{K} budeme poznať, ak vypočítame koeficienty matice  \small K zobrazenia small \small \mathcal{K} .
  2. Musí platiť \small A = (1, 0, -1)\rightarrow B = (1, 1, 0) , \small B = (1, 1, 0)\rightarrow C = (1, 0, 1) , ...
  3. To odpovedá rovniciam \small K \times (1, 0, -1) + \lambda_k \cdot  (1, 1, 0)=0 , ... , kde \small K = \left(\begin{matrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & j\end{matrix}\right) je hľadaná matica a \lambda_k sú násobky homogénnych súradníc odpovedajúcich bodov.
  4. Po roznásobení dostaneme 12 rovníc (4 dvojice odpovedajúcich bodov \small \times trojice súradníc) s 13-timi neznámymi \small a,b, \dots, j,\; k,l,m,n :
\small \begin{matrix} a-c=k \\ d-f=k \\ g-j=0 \\ a+b=l \\ d+e=0 \\ g+h=l \\ a+c=m \\ \quad d+f=-m \\ g+j=0 \\ a-b=n \\ d-e=0 \\ \;\; g-h=-n \end{matrix}

Matica tejto sústavy má tvar
\small\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & k & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & k & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & l & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & l & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -n & 0 \end{matrix}\right)

Riešením je matica kolineácie

\lambda\cdot \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)

Urobte skúšku správnosti a vytvorte zodpovedajúci applet.

\(\small . \)