Samodružné prvky

Cvičenie

Cvičenie. CIZ Dipl app
  1. Nech \small A, B, C, D sú vrcholy štvorca v euklidovskej rovine, nech \small A' = C, B' = D, C' = A, D' = B. V rozšírenej euklidovskej rovine je týmito bodmi definovaná jediná projektívna kolineácia \small \mathcal{K}, ktorá zobrazí body \small A, B, C, D po poriadku na body \small A', B', C', D' . Je \small \mathcal{K} stredovou kolineáciou? Čo je jej zúžením na euklidovskú rovinu? 
  2. Kolineácia je určená 4 odpovedajúcich si bodov.
    1. Nájdite maticu \small \mathcal{K} kolineácie, ktorá body s homogénnymi súradnicami \small (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) , (1, 1, 1) zobrazí po rade na body \small (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 2, 2) , (4, 5, 4).
      Pomoc.
      Použite applet "Kolineácia 4 dvojice bodov" - dostupný Tu. GeoGebra verzia appletu si otvoríte Tu. 
      Porovnajte vaše riešenie s naším riešením, ktoré si otvoríte Tu. resp. riešenie s testovacím bodom \small L Tu
    2. Dané sú (po troch nekolineárne) body \small A, B, C, D , ktorých homogénne súradnice sú \small A = (1, 0, -1), B = (1, 1, 0), \small C = (1, 0, 1), D = (1, -1, 0) .
      • Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod \small A na bod \small C , \small B na \small D , \small C na \small A a \small D na \small B . Riešenie Tu.
      • Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod \small A na bod \small C , \small C na \small A a body \small B,D sú samodružnými bodmi tejto kolineácie.
      • Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod \small A na bod \small A' = (1, 0, –2) , bod \small B na bod \small B' = (1,1, –1) ), a pre ktorú nevlastné body osí \small O_x a \small O_y sú samodružnými bodmi.
      Pomoc: Použite applet "Kolineácia - 4 odpovedajúce body" .
  3. Kolineácia je určená odpovedajúcou maticou.
    1. Kolineácia je daná maticami uvedenými v tabuľke. Vytvorte applet ako geometrickú interpretáciu v GeoGebre (interaktívny applet). Určte obraz ľubovoľného bodu \small L, nájdite stred kolineácie, os kolineácie, prípadne úbežnicu (ak existujú).
      \small \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Matica } M \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\ -2 & 3 & 2\\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \hline \end{array}  
    2. Kolineácia je určená maticou \small M= \left(\begin{matrix} 3 & -9 & 6 \\ -1 & -2 & 8 \\ -1 & -2 & 8 \end{matrix}\right) . Nájdite obraz dynamického bodu \small L=\left(\begin{matrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) ako vektor \small M \times L . Zadanie otvoríte Tu.
      a) Určite jeho karteziánske súradnice.
      b) Zistite, či táto kolineácia je stredová (či existuje stred a os kolineácie).
    3. Zostrojte obraz trojuholníka (projektívne súradnice jeho vrcholov) v kolineácii "ObrazTrojuh(GMB)" pomocou nástroja "Množina bodov". Zostrojte obraz opísanej kružnice tomuto trojuholníku.
    4. Daná kolineácia je určená maticou \small \left(\begin{matrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{matrix}\right) . Nájdite obraz nevlastného bodu \small C(5,2,0). Použite vzorový applet "Matica_Cvic a(ObrazNevlastny)".
      Zapnite stopu obrazu bodu \small C a pohybujte/zmeňte polohu bodu \small C, dostanete úbežnicu 2. druhu. Nájdite úbežnicu 1. druhu.
    5. Pomocou AI nájdite matice ďalších "pekných" stredových kolineácií, ktoré majú "pekné súradnice" odpovedajúcich bodov "vzor — obraz". Ku každej matici vytvorte samostatný dynamický applet.
  4. Vypracujte odpovede! Daný je pracovný list, ktorý si stiahnite Tu.
\(\small . \)