Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V tejto časti uvedieme okrem definície kružnice aj niektoré afinné vlastnosti kružnice, ktoré sa využívajú pri riešení úloh o kružnici v afinnej rovine.  V úvode tejto kapitoly sme uviedli historickú vsuvku o Fermatovom poňatí kružnice, ktoré sa opiera o axiomatické zavedenie pojmu kružnica v Euklidových Základoch.  Euklides ale aj Fermat využívajú nasledujúcu definíciu. Pozrite si diplomovú prácu "Jan Končel: Využití internetu ve výuce analytické geometrie na střední škole. Dostupná Tu, PDF, Repozitár.

Definícia (Kružnica).
Kružnica $\small k(S,r)$ určená stredom $\small S$ a polomerom $\small r$ je množina všetkých bodov $\small X = [x,y]$ afinnej roviny, ktoré majú od pevného bodu $\small S = [s_1, s_2]$ konštantnú vzdialenosť $\small r > 0$.

Mocnosť bodu ku kružnici. 
Daná je kružnica $\small k(S, r)$ rovnicou $\small (X-S)^2=r^2$ a ľubovoľný bod $\small M$ roviny. Reálne číslo

nazývame mocnosť bodu $\small M$ vzhľadom na kružnicu $\small k$.

     Dôkaz tohto tvrdenia nájdete Tu (v kurze Planimetria).

Dotyčnica kružnice $\small k(S,r)$, ktorá je určená stredom $\small S = [s_1, s_2]$ a polomerom $\small r$, v bode $\small T = [t_1, t_2]$ má rovnicu Je vidieť, že rovnica $\small (x-s_1)(t_1-s_1)+(y-s_2)(t_2-s_2)=r^2$ je všeobecnou rovnicou priamky s normálovým vektorom $\small (t_1-s_1; t_2-s_2)$. Dotyčnica ku kružnici v bode $\small T = [t_1, t_2]$ musí byť kolmá na vektor $\small \overrightarrow{ST}$. To naša priamka spĺňa, pretože vektor $\small \overrightarrow{ST}$ je jej normálovým vektorom.

Príklad.
Nájdite rovnicu dotyčnice kružnice $\small x^2 - 2x + y^2 - 4y - 20 = 0$ v jej bode $\small T[4; -2]$.

Riešenie.

1. Z predchádzajúcej vety vieme, ako zo stredovej rovnice kružnice jednoducho určíme rovnicu jej dotyčnice v nejakom bode. Doplníme teda výrazy $\small x^2 - 2x ;\; y^2 - 4y$na druhej mocniny dvojčlenov $\small x -1 ;\; y - 2$ a určíme jej stredovú rovnicu: $\small (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
2. Rovnica dotyčnice v bode $\small T[4; -2]$ má podľa vyššie uvedenej vety tvar: $\small (x - 1) (t_1 - 1) + (y - 2) (t_2 - 2) = 25$.
3. .Aby sme získali rovnicu dotyčnice v bode $\small T[4; -2]$, stačí dosadiť súradnice bodu T:
   $\small (x - 1)(4 - 1) + (y - 2)(-2 - 2) = 25,\\ 3(x - 1) + (-4)(y - 2) = 25,\\  3x - 3 - 4y + 8 = 25,\\  3x - 4y - 20 = 0$.

Ak si do [DotKru] dosadíme namiesto súradníc dotykového bodu, súradnice bodu $\small Z = [z1, z2]$, ktorý neleží na kružnici a je rôzny od stredu kružnice, tak dostaneme rovnicu poláry bodu $\small Z$. 
Ak polára bodu $\small Z$ má s kružnicou spoločné body, tak tieto sú dotykovými bodmi dotyčníc vedených z bodu $\small Z$ k danej kružnici. Sú dané dve kružnice $\small k_1 : (X - S_1)^2 - r2_1 = 0, k_2 : (X - S_2)^2 -r^2_2 = 0$, ktoré sa pretínajú práve v dvoch bodoch. Zväzkom kružníc rozumieme množinu všetkých kružníc, ktorých rovnice sa dajú vyjadriť v tvare kde $\small \lambda_1, \lambda_2$ sú ľubovoľné reálne čísla, z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly. Pre $\small \lambda_1 + \lambda_2 = 0$ je rovnicou [Zvaz] určená chordála daného zväzku kružníc, t.j. všetky body tejto priamky majú rovnakú mocnosť vzhľadom na kružnice $\small k_1, k_2$, pretože platí Kružnice $\small k_1(S_1,T_1), k_2(S_2, T_2)$ nazývame ortogonálne $\small k_1 \perp k_2$ práve vtedy, keď ich dotyčnice zostrojené v spoločnom bode sú navzájom kolmé. Platí $\small k_1 \perp k_2 \quad \Leftrightarrow \quad (S_1-S_2)^2-r^2_1-r^2_2 = 0$. 

V tejto časti uvedieme niektoré vlastnosti kružníc v projektívnej rovine

Z hľadiska projektívnej geometrie nie je kružnica výnimočnou kužeľosečkou, ale špeciálnym prípadom kvadratickej krivky, ktorá má dva spoločné komplexné ideálne body – izotropické body. Tie sú základom pre jednotný algebraicko-geometrický opis kružníc a zohrávajú ústrednú úlohu v metrickom rozšírení projektívnej geometrie.

V ďalšej časti opäť využijeme, že kružnica je určená stredom $\small S[a,b]$ a polomerom $\small r$. Potom jej rovnicu v afinnej rovine už poznáme ako Prechodom do homogénnych súradníc (zavedením projektívnej transformácie $\small x \rightarrow \frac{x}{z};\; y \rightarrow\frac{y}{z}$) dostávame rovnicu ktorá opisuje kružnicu ako kvadratickú kužeľosečku v projektívnej rovine $\small \overline{\mathbb{E}}_2$. Aby sme určili, kde kružnica daná rovnicou [ProjK] pretína ideálnu priamku, dosadíme $\small z = 0$: Získaná rovnica je nezávislá od súradníc stredu $\small [a ; b ; 1]$. Rovnica [k] nemá reálne riešenia okrem nulového vektora, ktorý nezodpovedá žiadnemu projektívnemu bodu. Preto kružnica v reálnej projektívnej rovine $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ nepretína ideálnu priamku v žiadnom reálnom bode}. Riešenia rovnice $\small x^2 + y^2 = 0$ však existujú v komplexnej rovine. Sú to body s homogénnymi súradnicami teda dva navzájom združené komplexné ideálne body. Tieto body nazývame izotropické body. V komplexnej projektívnej rovine $\small \mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ každá kružnica, bez ohľadu na svoj stred, pretína ideálnu priamku v dvoch (komplexných) bodoch, ktorých reprezentanti sú $\small [1; i ; 0] , [1; -i ; 0]$.

Poznámky.
Aj keď izotropické body neležia v reálnom modeli projektívnej roviny, reprezentujú všetky možné smerové vektory dotyčníc ku kružnici – v komplexnom rozšírení. V tomto zmysle môžeme kružnicu chápať ako objekt, ktorý „smeruje“ do dvoch fixných komplexných bodov v nekonečne. Práve tieto izotropické body zabezpečujú, že všetky kružnice v projektívnej rovine patria do tej istej triedy kvadratických kriviek.