Priamka v projektívnej rovine

Cvičenie

Cvičenie.
Riešte úlohy .
Priamka v projektívnej rovine
  1. Dané priamky \small p = \overleftrightarrow{AB} a \small q = \overleftrightarrow{CD}, ktorých homogénne súradnice bodov sú:
    1. \small A = [2,1,1],B = [5,-4,1],C = [1,-2,1], D = [7,2,1]
    2. \small A = [2,1,1],B = [5,3,1],C = [1,-2,1], D = [7,2,1]
    Určite nevlastné body priamok (určite ich homogénne súradnice).
  2. Určite všeobecné aj parametrické vyjadrenie priamok (\small \overleftrightarrow{AB} a \small \overleftrightarrow{CD} v projektívnej rovine, ktoré sú určené bodmi s reprezentantmi \small A = [0,0,1], \; B = [-2,3,0], \; C = [0,-1,3], \; B = [-2,3,0]. Určite súradnice ich spoločného bodu.
  3. Napíšte rovnicu priamky v projektívnej rovine, ktorá je určená priesečnicou priamok y + 2z + 9 = 0, \quad x + z + 3 = 0 a je rovnobežná s osou O_x.
  4. Vzhľadom k afinnému repéru \small \langle O[0,0,0]; \vec e_1(1,0,0); \vec e_2(0,1,0); \vec e_3(0,0,1) \rangle v \mathbb{E}^3 je daná priamka p všeobecným vyjadrením p: 2x+y-z-2=0; \quad x-y+z+1=0. Určite rovnice priamky p v indukovaných homogénnych súradniciach a určite súradnice nevlastného bodu priamky p. Pozri prácu [JAN, 2001], str. 23.
  5. Určte v priestore vzdialenosť bodu \small G = [-1,4,-1] od priamky prechádzajúcej bodmi \small P_1 = [7,3,4] a P_2 = [3,4,7].
  6. Určte priečku dvoch mimobežiek určených bodmi \small P = [1,0,1],\; A_\infty= [1,2,0] a \small Q_\infty= [0,1,0],\;B = [0,1,1] .
    Výsledok: Priečka prechádza bodom \small \displaystyle R=\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3},1\right) so smerovým vektorom \small \vec{d}=(2,-1,1). Parametricky 
    \small   \mathbf{X}=\Big(\tfrac{4}{3}+2\lambda,\;\tfrac{2}{3}-\lambda,\;1+\lambda\Big).
\( .\)