Priamka v projektívnej rovine

Všeobecná rovnica priamky

Nech sú dané dva rôzne body \small A,B projektívnej roviny \small \overline{\mathbb{E}}_2 a ich homogénne súradnice \small A=[a_0,a_1,a_2],\small B=[b_0,b_1,b_2]. Pre súradnice ľubovoľného bodu \small X=[x,y,z] priamky \small p=\overleftrightarrow{AB} platí
[LinKom]
\small \forall X \in p \; \exists ( k_0, k_1) \in \mathrm R \times \mathrm R;\; X= k_0 A + k_1B.
lineárna kombinácia bodov
Po dosadení súradníc bodu \small X a po úprave dostaneme sústavu troch rovníc
[ParRov]
\small \begin{array}{c} x = k_0a_0 + k_1b_0\\ y = k_0a_1 + k_1b_1\\ z = k_0a_2 + k_1b_2, \end{array}
parametrické vyjadrenie
kde \small k_0, k_1 \in \mathrm R, k^2_0 + k^2_1 \neq 0. Sústavu rovníc [ParRov] nazývame parametrické vyjadrenie projektívnej priamky určenej bodmi \small A,B. Bod \small X=[x,y,z] priamky \small p=\overleftrightarrow{AB} je lineárne závislý od bodov \small A,B. Preto matica
\small \mathbf X=\left( \begin{array}{ccc} x & y & z\\ a_0 & a_1 & a_2\\ b_0 & b_1 & b_2 \end{array}\right)
má hodnosť 2 a determinant \small \left| \mathbf X \right| tejto matice musí byť rovný nule. Rozvinutím determinantu \small \left| \mathbf X \right| podľa prvého riadku získame rovnicu s tromi neznámymi \small x,y,z
[VseoRov]
\small ax+by+cz=0,\quad a=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}, \quad b=-\begin{vmatrix} a_0 & a_2 \\ b_0 & b_2 \end{vmatrix}, \quad c=\begin{vmatrix} a_0 & a_1 \\ b_0 & b_1 \end{vmatrix}
všeobecná rovnica
Rovnicu [VseoRov] nazývame všeobecná rovnica projektívnej priamky určenej bodmi $A=[a_0,a_1,a_2]\], $B=[b_0,b_1,b_2]\].
\( .\)