Projektívny priestor a kužeľosečky: Vektorový súčin

Projektívny priestor a kužeľosečky

Interaktívna učebnica

Priamka v projektívnej rovine

Vektorový súčin

V projektívnej rovine

$\small \mathbb{P}^2$ pracujeme s homogénnymi súradnicami. Body aj priamky sú reprezentované usporiadanými trojicami reálnych čísel - trojrozmernými vektormi. Napríklad pre

bod: $\small \vec{P} = (x , y , z)$ ,
priamku: $\small \vec{\ell} = (a : b : c)$ ,

platí, že bod

$\small \vec{P}$ leží na priamke

$\small \vec{\ell}$ práve vtedy, keď (pre skalárny súčin!) platí:

$\small \vec{\ell}^\top \vec{p} = ax + by + cz = 0$ .

Priamka v projektívnej rovine (samozrejme aj v euklidovskej) je jednoznačne určená dvoma rôznymi bodmi (axióma incidencie).

Tvrdenie (Určenie priamky dvoma bodmi).
Nech

$\small \vec{p}_1,\vec{p}_2$ sú dva rôzne body (vektory) v projektívnej rovine. Body

$\small \vec{p}_i (i=1,2)$ ležia na priamke

$\small \vec{\ell}$ , ak platí

$\small \vec{\ell}^\top \vec{p}_i = 0$ . Teda musia byť splnené rovnosti:

$\small \vec{\ell}^\top \vec{p}_1 = 0, \quad \vec{\ell}^\top \vec{p}_2 = 0.$

To znamená, že vektor (priamka)

$\small \vec{\ell}$ je ortogonálny (v zmysle skalárneho súčinu) na oba vektory (body)

$\small \vec{p}_1,\vec{p}_2$ . Vektory

$\small \vec{p}_1,\vec{p}_2$ určujú rovinu prechádzajúcu počiatkom. Vektor kolmý na túto rovinu, dostaneme pomocou vektorového súčinu

$\small \vec{\ell} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2$ .
Vektor

$\small \vec{\ell}$ predstavuje hľadanú priamku, ktorá je určená bodmi

$\small \vec{p}_1,\vec{p}_2$ .

Príklad (Rovnica priamky v projektívnej rovine).
Určte rovnicu priamky v projektívnej rovine, ktorá je určená bodmi

$\small \vec{p}_1 = (1 : 2 : 1), \vec{p}_2 = (3 : -1 : 1)$ .

Riešenie. Pre body

$\small \vec{p}_1 = (1 : 2 : 1), \vec{p}_2 = (3 : -1 : 1)$ je ich vektorový súčin

$\small \vec{\ell} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1),\; 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1,\; 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) = (3,\; 2,\; -7).$

Teda rovnica priamky je