Priamka v projektívnej rovine

Vektorový súčin

V projektívnej rovine \small  \mathbb{P}^2 pracujeme s homogénnymi súradnicami. Body aj priamky sú reprezentované usporiadanými trojicami reálnych čísel - trojrozmernými vektormi. Napríklad pre
  • bod: \small  \vec{P} = (x , y , z) ,
  • priamku: \small  \vec{\ell} = (a : b : c) ,
platí, že bod \small  \vec{P}  leží na priamke \small  \vec{\ell} práve vtedy, keď (pre skalárny súčin!) platí:
\small  \vec{\ell}^\top \vec{p} = ax + by + cz = 0 .
Priamka v projektívnej rovine (samozrejme aj v euklidovskej) je jednoznačne určená dvoma rôznymi bodmi (axióma incidencie).
Tvrdenie (Určenie priamky dvoma bodmi).
Nech \small  \vec{p}_1,\vec{p}_2 sú dva rôzne body (vektory) v projektívnej rovine. Body \small  \vec{p}_i  (i=1,2) ležia na priamke \small  \vec{\ell} , ak platí \small  \vec{\ell}^\top \vec{p}_i = 0 . Teda musia byť splnené rovnosti:
\small  \vec{\ell}^\top \vec{p}_1 = 0, \quad \vec{\ell}^\top \vec{p}_2 = 0.
To znamená, že vektor (priamka) \small \vec{\ell} je ortogonálny (v zmysle skalárneho súčinu) na oba vektory (body) \small  \vec{p}_1,\vec{p}_2 . Vektory \small  \vec{p}_1,\vec{p}_2 určujú rovinu prechádzajúcu počiatkom. Vektor kolmý na túto rovinu, dostaneme pomocou vektorového súčinu \small  \vec{\ell} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2 . 
Vektor \small  \vec{\ell} predstavuje hľadanú priamku, ktorá je určená bodmi \small \vec{p}_1,\vec{p}_2 . 
Príklad (Rovnica priamky v projektívnej rovine).
Určte rovnicu priamky v projektívnej rovine, ktorá je určená bodmi \small  \vec{p}_1 = (1 : 2 : 1), \vec{p}_2 = (3 : -1 : 1) .
Riešenie. Pre body \small  \vec{p}_1 = (1 : 2 : 1), \vec{p}_2 = (3 : -1 : 1) je ich vektorový súčin
\small  \vec{\ell} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1),\; 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1,\; 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) = (3,\; 2,\; -7).
Teda rovnica priamky je \small  3x + 2y - 7z = 0.
Duálna - obrátená úloha: Priesečník dvoch priamok \small  p,q získame tiež vektorovým súčinom \small  R = \vec{p} \times \vec{q} .
Cvičenie.
Nech sú dané priamky p=\overleftrightarrow{AB},q=\overleftrightarrow{CD} , ktoré sú určené bodmi s ich homogénnymi súradnicami
  1. \small  A=[2,1,1],B=[5,-4,1],C=[1,-2,1],D=[7,2,1]
  2. \small  A=[2,1,1],B=[5,3,1],C=[1,-2,1],D=[7,2,1]
Určite vzájomnú polohu priamok. Určite súradnice ich spoločného bodu pomocou vektorového súčinu. Pozrite učebnicu, strany 44-46. 
\( .\)