Projektívne priestory

Desargues a Pappos roviny

Projektívna geometria na rozdiel od euklidovskej geometrie, ktorá sa zameriava na vzdialenosti, uhly a podobnosti, projektívna geometria študuje vlastnosti, ktoré sa zachovávajú pri stredovom premietaní – napríklad:
  1. kolineárnosť bodov (ležia na jednej priamke),
  2. priesečníky priamok,
  3. incidencie (vzťahy typu „bod leží na priamke“).
V projektívnej rovine sa predpokladá, že každé dve rôzne priamky sa pretínajú práve v jednom bode. Napríklad  aj rovnobežné priamky majú spoločný reálny bod..
Axiomatická definícia projektívnej roviny (Uvádzame formálnu definíciu pomocou množín a axióm).
Nech \small  B je množina bodov (neprázdna), \small  P – množina priamok, ktoré sú podmnožinami \small  B . Potom projektívna rovina je usporiadaná dvojica \small  \pi = (B, P) , pričom platia axiómy:
P1: Pre každé dva rôzne body existuje práve jedna priamka, ktorá ich obsahuje.
P2: Pre každé dve rôzne priamky existuje práve jeden bod, ktorý leží na oboch.
P3: Existujú štyri body, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke (tzv. nekolineárne).
Tieto axiómy zabezpečujú, že rovina má dostatočne bohatú štruktúru a že sa v nej správajú priamky a body „projektívne“. Teda bez výnimiek - rovnobežky sa pretínajú.
Desarguesova veta.
Nech sú dané dve trojice navzájom rôznych bodov projektívnej roviny \small  A,B,C \in \pi, \small A',B',C' \in \pi tak, že \small S = AA' \cap BB' \cap CC'. Potom body \small P = AB \cap A'B', \small Q = AC \cap A'C', \small R = BC \cap B'C' sú kolineárne.
V axiomaticky zavedenej projektívnej rovine sa táto veta uvádza ako Axióma P4.

Obr. Desarguesova axióma, otvorte si interaktívny applet Tu.
 

Obr. Pappova axióma, otvorte si interaktívny applet Tu.
 
Definícia.
Projektívna rovina, pre ktorú platí Desarguesova axióma, sa nazýva desarguesovská rovina.
Pappova veta.
Nech p, p' \subset \pi sú dve rôzne priamky projektívnej roviny. Na priamke p ležia rôzne body \small A,B,C, na priamke p' rôzne body \small A',B',C', odlišné od priesečníka p \cap p'. Potom body \small P = AB' \cap A'B, \small Q = AC' \cap A'C, \small R = BC' \cap B'C sú kolineárne. 
V axiomaticky zavedenej projektívnej rovine sa táto veta uvádza ako Axióma P5.
Definícia.
 Prijektívna rovina, pre ktorú platí Pappova axióma P5, sa nazýva pappovská rovina. Každá pappovská rovina je zároveň aj desarguesovská, ale existujú roviny, ktoré sú desarguesovské, no nie sú pappovské.
Množina štyroch bodov \small \{A,B,C,D\} \subset \pi, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke, sa nazýva úplný štvorroh. Body \small E = AB \cap CD, \small F = AC \cap BD, \small G = AD \cap BC sa nazývajú diagonálne body a tvoria tzv. diagonálny trojuholník. Ukážte, že diagonálne body E,F,G akéhokoľvek úplného štvorrohu neležia na jednej priamke. Vytvorte interaktívny applet pre takú situáciu.

Obr. Štvorroh; dynamický applet si otvoríte Tu.
Sformulujte duálnu definíciu k pojmu Štvorroh, ktorý nazvete úplný štvorstran. Vytvorte interaktívny applet pre takú situáciu.
\( .\)