Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Homogénne súradnice projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ reprezentujú triedu všetkých nenulových násobkov tej istej trojice. Napr. súradnice $[2,3,1],[4,6,2]$ reprezentujú totožné body v projektívnej rovine.  Binárna relácia $R$ je relácia ekvivalencie na množine $\small  P=\overline{\mathbb{E}}_2$. Pre pevne zvolenú usporiadanú trojicu reálnych čísel $(x,y,z)\neq (0, 0, 0)$ množina všetkých usporiadaných trojíc je jedna trieda z rozkladu $\small  P/R$ podľa ekvivalencie $\small  R$ a predstavuje súradnice toho istého bodu. Triedy rozkladu budeme označovať pomocou hranatých zátvoriek: $[x,y,z]$.

Definícia.
Ľubovoľnú usporiadanú trojicu reálnych čísel $(x,y,z)$ patriacu do triedy $\small  X=[x,y,z]$ rozkladu $\small  P/R$ budeme nazývať reprezentant bodu $\small  X$.
Zrejme platí: Ak $[x,y,z]$ sú homogénne súradnice vlastného bodu $\small  X$ projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$, tak sú karteziánske súradnice bodu $\small  X \in \overline{\mathbb{E}}_2$.

Z tejto definície vyplýva aj opačná konštrukcia. Ak máme vlastný bod $\small  X \in \mathbb{E}^2$ euklidovskej roviny určený karteziánskymi súradnicami  $[x,y]$, tak homogénne súradnice tohto vlastného bodu projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ budú mať tvar $\left[ \frac{x}{z},\frac{y}{z}, 1\right]$. To umožňuje urobiť transformáciu afinných rovníc geometrických útvarov, ktoré obsahujú len vlastné body na projektívne rovnice.

Napríklad kružnica obsahuje len vlastné body. Afinná všeobecná rovnica kružnice so stredom $\small  S[a,b]$ a polomerom $r$ má vyjadrenie $\small  (x-a)^2+(x-b)^2=r^2$. Po transformácii $x \rightarrow \frac{x}{z}; z \neq 0$ dostaneme rovnicu kružnice v projektívnej rovine Dokážete zodpovedať otázku: Má kružnica v projektívnej rovine aj ideálne body. Ak áno, tak aké majú vyjadrenie.

V nasledujúcom cvičení si priblížte prácu s lineárnou kombináciou bodov.
Uvažujme o trojici bodov $\small  O_0 = [2,5,1],O_1 = [6,-4,2],O_2 = [1,3,0]$, ktorá je zrejme lineárne nezávislá. Zdôvodnite toto tvrdenie. Každý bod $\small  X$ projektívnej roviny tvorí s takouto trojicou bodov množinu lineárne závislých bodov. Preto ho možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu $\small X=\rho_0O_0+\rho_1O_1+\rho_2O_2.$

Cvičenie.
Určite reprezentantov $(\rho_0,0,0), (0,\rho_1,0), (0,0,\rho_2)$ bodov  $\small  O_0 , O_1, O_2$ tak, aby bod $\small Q= (2, 1, -3)$ mal vyjadrenie a zároveň, aby čísla $\rho_i$ boli racionálne.