Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Cvičenie.
Riešte úlohy zo Zbierky [MON], kapitola: KUŽEĽOSEČKA AKO OBRAZ KRUŽNICE V KOLINEÁCII.

1. Úloha 7.7.1. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; A, A')$.
   1. Narysujte vzor ideálnej priamky; úbežnica 1. druhu.
   2. Narysujte obraz ideálnej priamky; úbežnica 2. druhu.
2. Úloha 7.7.2. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; A; A')$ ($u'$ je obraz ideálnej priamky) a bod $A$. Narysujte obraz bodu $A$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
3. Úloha 7.7.3. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$ (kde $v'$ je obraz ideálnej priamky) a priamka $a$. Narysujte obraz priamky $a$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
4. Úloha 7.7.4. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; u)$ (kde $u$ je vzor ideálnej priamky) a priamka $a$. Narysujte obraz priamky $a$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
5. Úloha 7.7.5. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$ a rôznobežné priamky $a', b'$, pričom $a' \cap b' \neq \varnothing$. Narysujte vzory priamok $a', b'$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
6. Úloha 7.7.6. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$ a rôznobežné priamky $a', b'$, pričom $a' \cap b' \in v'$. Narysujte vzory priamok $a', b'$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
7. Úloha 7.7.7. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; v')$. Nájdite také priamky $a, b$, že $a \parallel b$ a zároveň aj pre ich obrazy platí $a' \parallel b'$.
8. Úloha 7.7.8. Daná je perspektívna kolineácia $\mathcal{K}(S; o; u)$ a kružnica $k$, pričom
   1. $k \cap u = \varnothing$
   2. $u$ je dotyčnica kružnice $k$,
   3. $u$ je sečnica kružnice $k$.
   Narysujte obraz kružnice $k$ v kolineácii $\mathcal{K}$.
9. Určenosť perspektívnej kolineácie. Zo zadaných prvkov dourčite stred kolineácie, os kolineácie a pár odpovedajúcich si bodov:
   1. Os kolineácie $o$ a dva páry odpovedajúcich si bodov $A, A'$; $B, B'$.
   2. Tri páry odpovedajúcich si bodov $A, A'$; $B, B'$; $C, C'$.
   3. Stred kolineácie $S$, os kolineácie $o$ a úbežník 1. druhu $U$.
10. Vytvorte applet, ktorý bude interpretovať Pappovu axiómu. 
11. Formuluj duálnu verziu Desarguesovej vety/axiómy – teda vetu, kde sa úlohy bodov a priamok vymenia. Vytvorte applet pre duálnu verziu Desarguesovej vety.
12. V rozšírenej euklidovskej rovine sú dané štyri body $\small A, B, P, Q$, z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne. Nech $\small C = AB \cap PQ$, $\small R = AQ \cap PB$, $\small S = AP \cap BQ$, $\small D = RS \cap AB$, $\small T = RS \cap PQ$, $\small U = AT \cap PD$. Dokážte, že body $\small R, U, C$ sú kolineárne. 
    (Pri dôkaze využite Desargovu vetu.)
13. Nech $\small A, B, C$ sú tri rôzne kolineárne body rozšírenej euklidovskej roviny a $\small P, Q, P', Q'$ sú také body, že priamky $\small AB, PQ$ a $\small P'Q'$ sú rôzne a pretínajú sa v bode $\small C$. Nech $\small R = AQ \cap PB$, $\small S = AP \cap BQ$, $\small D = RS \cap AB$, $\small R' = AQ' \cap P'B$, $\small S' = AP' \cap BQ'$, $\small D' = R'S' \cap AB$. Dokážte, že $\small D = D'$. 
    (Pri dôkaze využite Desargovu vetu.)
14. Deliaci pomer a dvojpomer
    Dvojpomer.
    Nech $\small A,B,C,D$ body  ležia na jednej priamke. Dvojpomer usporiadanej štvorice bodov $\small (A,B;C,D)$ je definovaný ako číslo $\small (A, B; C, D) = \frac{AC \cdot BD }{BC \cdot AD}$, kde $\small XY$ označuje orientovanú vzdialenosť medzi bodmi $\small X,Y$.
    1. Vlastný bod medzi dvoma bodmi.
       V projektívnej rovine sú dané body $\small A = [1 : 2 : 1], B = [4 : 5 : 1], C = [2.5 : 3.5 : 1]$.  Vypočítajte deliaci pomer bodu $\small C$ vzhľadom na body $\small A a B$, t. j. určte  $\small \lambda _C = (ABC)$.
    2. Nevlastný bod.
       Body  $\small A = [2 : 1 : 1], B = [5 : 4 : 1]$ určujú priamku. Bod  $\small C = [3 : 3 : 0]$ je nevlastný bod tejto priamky.
       Určte deliaci pomer $\small \lambda _C = (ABC)$.
    3. Na priamke $\small AB; A[1,2]3]B[-3,-2]$ určte súradnice bodu $\small C[c_1,c_2]$ tak, aby $\small (ABC)=\frac {2}{3}$. Potom určte dvojpomer $\small (ABCD_∞ )$.
15. Dvojpomer
    1. Štyri vlastné body
       V projektívnej rovine sú dané body $\small A = [0 : 0 : 1], B = [1 : 0 : 1], C = [2 : 0 : 1], D = [4 : 0 : 1]$.
       Vypočítajte dvojpomer $\small (A, B; C, D)$.
    2. Jeden bod nevlastný
       Body $\small A = [1 : 0 : 1], B = [2 : 0 : 1], C = [3 : 0 : 1], D = [1 : 0 : 0]$ (nevlastný bod).
       Vypočítajte dvojpomer $\small (A, B; C, D)$.
16. Na priamke $p$ sú dané tri rôzne body $\small A,B,C$. Zostrojte bod $\small D$ tak, aby
    1. $\small (ABCD) = \mu$, kde $\small \mu = -1,2, \frac{1}{2},$
       Pomoc. Pozrite si prácu [CHOD, 2013], str. 27.
    2. $\small (ABCD_\infty) = \mu$, kde $\small \mu = -1,2, \frac{1}{2}.$

Po zavedení homogénnych súradníc v projektívnej rovine (nasledujúca kapitola) budeme môcť deliaci pomer ako aj dvojpomer vypočítať algebraickou cestou. K tomu budeme potrebovať aj definíciu orientovanej vzdialenosti Vzdialenosť bodov $\small A, B$ na priamke $\small p$ bude meraná euklidovsky od bodu $\small A$ k bodu $\small B$. Nazveme ju orientovaná vzdialenosť a značíme ju $\small |\overrightarrow{AB}|$. Vzorec pre výpočet euklidovskej pomocou skalárneho súčinu ostáva v platnosti aj pre  vlastné body projektívnej roviny. Orientovanú vzdialenosť určíme pomocou normy odpovedajúceho vektora. Teda 
 $\small |\overrightarrow{AB}| = ||B-A||=∥\vec v∥ = +\sqrt{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}}$     resp. pre opačne orientovanú vzdialenosť  $\small |\overrightarrow{BA}| =  -\sqrt{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}}=-|\overrightarrow{AB}|$

Definícia.
Ak platí $\small A = B$, potom: $\small |\overrightarrow{AB}| = 0$. 
Ak je práve jeden z bodov $\small A, B$ nevlastný, potom: $\small |\overrightarrow{AB}| = \|\overrightarrow{BA}\| = \infty$ .