Priamka v projektívnej rovine

V konštrukčnej geometrii (v Hilbertovom axiomatickom systéme) priamka sa nedefinuje. Formuluje sa axióma incidencie
       Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka a popisuje sa primitívny vzťah incidencia.
Pomocou axiómy incidencie a primitívneho vzťahu sa vyjadruje vzájomný vzťah bodu a priamky. 
V afinnej geometrii (v euklidovskej rovine \small  \mathbb E^2 ) priamka určená dvoma rôznymi bodmi \small  A,B sa definuje ako množina bodov
\small  \overleftrightarrow{AB}=\left\{ X \in \mathbb E^2; X=A+t(B-A) \right\}
Keďže vieme, že lineárne nezávislé body v projektívnej rovine \small \overline{\mathbb{E}}_2 sú vlastne rôzne body, tak môžeme bez ujmy na obecnosti vysloviť definíciu:.
Definícia.
Množina všetkých bodov projektívnej roviny, ktoré sú lineárne závislé od dvoch rôznych bodov \small  A,B \in \overline{\mathbb{E}}_2 \; (A \neq B) , sa nazýva priamka (projektívnej roviny \small  \overline{\mathbb{E}}_2 ).   Budeme ju tiež symbolicky označovať ako \small  p=\overleftrightarrow{AB} .
Všetky body projektívnej priamky \small  p=\overleftrightarrow{AB} možno vyjadriť zápisom
[Priam]
\small  \forall X \in p \; \exists ( k_0, k_1) \in \mathrm R \times \mathrm R;\; X= k_0 A + k_1B
projektívna priamka 
Uvedený zápis sa nazýva lineárne vyjadrenie priamky \small  p=\overleftrightarrow{AB} .  Po zavedení definície priamky v projektívnej rovine môžeme dokázať vetu, ktorá charakterizuje projektívnu rovinu. Body patriace jednej priamke sa nazývajú kolineárne body.
Veta.
Každé dve rôzne priamky v projektívnej rovine \small  \overline{\mathbb{E}}_2 sa pretínajú v práve jednom bode.

Dôkaz. Nech sú dané priamky \small p=\overleftrightarrow{AB},q=\overleftrightarrow{CD} . Potom lineárne vyjadrenie týchto priamok má tvar

\small  p = r_0 A + r_1B
\small  q = s_0 C + s_1D

Pre spoločné body X \in p \cap q oboch priamok musí platiť

\small  r_0 A + r_1B=s_0 C + s_1D

Po dosadení homogénnych súradníc \small  A=[x_{a},y_{a},z_{a}],B=[x_{b},y_{b},z_{b}] ,   C=[x_{c},y_{c},z_{c}], D=[x_{d},y_{d},z_{d}] bodov \small A,B,C,D dostaneme lineárnu sústavu troch rovníc o štyroch neznámych \small r_0,r_1,s_0,s_1. Keďže body \small A,B a tiež body \small C,D sú lineárne nezávislé rôzne), tak matica sústavy \small  r_0 A + r_1B=s_0 C + s_1D má hodnosť rovnú 3. Teda vždy existuje 1-parametrické riešenie danej lineárnej sústavy - existuje aspoň jeden spoločný bod priamok. 

Cvičenie.
Nech sú dané priamky \small  p=\overleftrightarrow{AB},q=\overleftrightarrow{CD} , ktoré sú určené bodmi s ich homogénnymi súradnicami
  1. \small  A=[2,1,1],B=[5,-4,1],C=[1,-2,1],D=[7,2,1]
  2. \small  A=[2,1,1],B=[5,3,1],C=[1,-2,1],D=[7,2,1]
Určite vzájomnú polohu priamok (určite súradnice ich spoločného bodu). Pozrite si Interaktívnu učebnicu, str. 41-43.
\( .\)