Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nevlastné body budeme označovať ako ideálne body a množinu všetkých nevlastných bodov ako ideálnu priamku. Zavedenie týchto prvkov prirodzene vychádza z pojmu rovnobežnosti – každá trieda rovnobežných priamok má spoločný ideálny bod. Uvedieme základné definície, ktoré zohrávajú kľúčovú úlohu pri algebraickom skúmaní kužeľosečiek.

Definícia.
Nech $\mathbb{E}^2=(\mathcal{A}, V_2(\mathbb{R}),-)$ je euklidovská rovina (afinný 2-rozmerný priestor, v ktorom je definovaný skalárny súčin).
     ♣   Ideálnym bodom rozumieme jednorozmerný vektorový podpriestor smerového priestoru $V_2(\mathbb{R})$.
     ♣   Ideálna priamka je množina všetkých ideálnych bodov tejto roviny.

Pripomeňme si, že afinný priestor $\mathbb{A}^n=(\mathcal{A}, V_n(\mathbb{R}),-)$ je definovaný pomocou neprázdnej množiny bodov $\mathcal{A}$ a vektorového priestoru $V_n(\mathbb{R})$. Pre každý vektor $\vec{v} \in V_n(\mathbb{R})$ existujú body $A, B \in \mathcal{A}$ také, že $\vec{v} = B - A$.

Rozšírme euklidovský priestor $\mathbb{E}^3$ o všetky ideálne body. Získame tak nový, $(n+1)$-rozmerný projektívny priestor. Ideálny bod je v tomto priestore jednoznačne určený smerovým vektorom priamky. Každý ideálny bod v euklidovskej rovine $\mathbb{E}^2$ je určený svojím smerovým vektorom, t. j. jednorozmerným podpriestorom $V_2(\mathbb{R})$. Podobne, v euklidovskom priestore $\mathbb{E}^3$ má ideálny bod tiež vektorový charakter a ideálna priamka je dvojrozmerný podpriestor.

Definícia (Projektívny priestor).
Euklidovský priestor $\mathbb{E}^3$ rozšírený o všetky ideálne body a ideálne priamky nazveme projektívny priestor. Projektívne rozšírenie roviny $\mathbb{E}^2$ nazveme projektívna rovina a označíme ju symbolom $\overline{\mathbb{E}}_2$ .

Uvedená definícia projektívneho priestoru má charakter algebraický resp. analytický. Využíva výsledky súvisiace s vektorovým priestorom a afinným priestorom. V ďalšej kapitole zavedieme pojem projektívnej roviny aj axiomaticky, teda synteticky. Nasledujúca veta vyjadruje základnú vlastnosť projektívnej roviny. Ide vlastnosť, ktorá významne odlišuje projektívnu rovinu od euklidovskej roviny. Dôkaz vety urobíme až po zavedení súradnicového systému v projektívnej rovine.

Veta.
Dve rôzne priamky v projektívnej rovine sa pretínajú v práve jednom bode. Dve rovnobežné priamky sa pretínajú v ideálnom bode – tento patrí na spoločnú ideálnu priamku.
V projektívnej geometrii platí princíp duality: každému výroku o bodoch a priamkach existuje duálny výrok, ktorý vznikne výmenou pojmov „bod“ a „priamka“.