Projektívne priestory

Projektívna rovina mení pohľad na geometriu. V projektívnej rovine sa aj rovnobežné priamky pretínajú a body „v nekonečne“ prestávajú byť abstraktným únikom.
Projektívna geometria sa zaoberá pojmami, ktoré sa premietaním (rovnobežným, stredovým) nemenia. Pred zavedením pojmu projektívny priestor uvedieme niektoré vlastnosti lineárnej kombinície bodov v afinnom priestore. V nasledujúcej vete si všimnite, že súčet koeficientov   x_0 , x_1 , \dots , x_n  je rovný 1.
Veta (Bod v simplexe afinného priestoru).
Ľubovoľný bod X \in \mathbb{E}^n sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
X = x_0O + x_1E_1 + \dots + x_nE_n,
kde x_0 + x_1 + \dots + x_n = 1 a \pmb{S} = \left\{ O, E_1, \dots, E_n \right\} je simplex afinného priestoru \mathbb{E}^n .
Poznámky.
  1. Predchádzajúca veta platí len pre body euklidovského priestoru \mathbb{E}^n . Body E_1 = [1,0,\dots,0], \dots , E_n = [0,0,\dots,1] simplexu \pmb{S} sú koncové body súradnicových vektorov \vec{OE_i} (i=1,\dots,n) ortonormálnej bázy vektorového priestoru \mathbb{V}_n .
  2. Body A_1, \dots, A_k euklidovského priestoru \mathbb{E}^n nazveme lineárne nezávislé, ak sú vektory \vec{A_1A_2}, \vec{A_1A_3}, \dots, \vec{A_1A_k} lineárne nezávislé vo vektorovom priestore \mathbb{V}_n . Neskôr ukážeme, že vlastnosť "lineárne nezávislé" hrá dôležitú úlohu aj v projektívnom priestore.
Predstavme si, že máme množinu všetkých bodov rovinnej paraboly. Takáto parabola má aj jeden nevlastný bod, ktorý nepatrí euklidovskej rovine a nedá sa vyjadriť pomocou súradníc vhodného simplexu. Obrázkok reprezentuje applet, v ktorom takýto nevlastný bod je určený priamkou x=-1 alebo vektorom \vec{u} = (0,1).

Obr. Parabola – kvadratická funkcia. Aktivácia appletu Tu.
\( .\)