Interaktívna geomeria

Zobrazenie je predstava, že sa útvar pohybuje, mení, ale zároveň si zachováva svoju identitu. Môže sa posunúť, otočiť, zväčšiť, zrkadliť – a predsa zostáva tým istým útvarom v inom priestore. V tejto kapitole ukážeme, ako možno pomocou zobrazení vyjadriť zhodnosť, podobnosť, symetriu a aj nezhodné, ale systematické transformácie. Zobrazenia sú geometriou v pohybe. Sú mostom medzi abstraktnou matematikou a reálnym svetom: medzi myšlienkou a jej obrazom.

🔄 Od tieňa po transformáciu
Zobrazenia sa v geometrii objavujú už pri projekcii – tieňom, odrazom v zrkadle, otočením obrazca. V renesančnej geometrii sa používali na zachytenie perspektívy. V 19. storočí Felix Klein zaradil zobrazenia do stredu Erlenmeyerovho programu: každá geometria je určovaná svojimi zobrazeniami. Dnes sú zobrazenia kľúčom nielen k chápaniu geometrie, ale aj k animácii, fyzike, grafike a dynamickému modelovaniu.

Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine $\small \mathbb E_2$ rozumieme predpis $f$, ktorý ľubovoľnému bodu $\small X \in \mathbb E_2$ priradí najviac jeden bod $\small X' = f(X)$ .

V tejto kapitole sa budeme skúmať

1. zhodné a podobné zobrazenia,
2. osovú afinitu,
   
3. stredovú kolineáciu,
4. kruhovú inverziu.

Definícia.
Zobrazenie $\small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2}$ nazývame zhodné zobrazenie v ( $\small \mathbb{E_2}$ ), ak pre každé dva rôzne body $\small X, Y ∈ \mathbb{E_2}$ platí
$\small X'Y' ≅ XY$,
kde $\small X' =f(X), Y' = f(Y )$. Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).

Rovinné geometrické útvary $\small U_1, U_2$ sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý. Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto: $\small U_1 \simeq U_2$ alebo takto $\small U_1 \cong U_2$.

V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to

• identitu,
• osovú súmernosť,
• stredovú súmernosť,
• otočenie (rotáciu),
• posunutie (transláciu),
• posunutú súmernosť.

🧭 Nie len pre matematiku
Keď pochopíš zobrazenie v geometrii, pochopíš aj grafiku v hrách, odrazy v zrkadle, mapy a aj to, prečo niektoré ilúzie klamú zrak.

Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.

Dôkaz tohto tvrdenia nájdete v práci [KOB, 2024]. Pri štúdiu zhodných zobrazení kľúčovú úlohu zohráva osová afinita. Pomocou skladania osových súmerností vieme charakterizovať ľubovoľné zhodné zobrazenie. Keďže platí jedno významné tvrdenie Tak stčí charakterizovať všetky možné kombinácie 2 a 3 osových súmerností.

Definícia (Osová súmernosť - symetria).
Nech $o$ je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small X$ ležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, ktorý je totožný s bodom $\small X$,
2. obrazom bodu $\small X$ neležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že priamka $\small XX'$ je kolmá na priamku $o$ a stred úsečky $\small XX'$ leží na priamke $o$,
   nazývame osová súmernosť,
3. Priamku $o$ nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou $o$ budeme označovať symbolom $\sigma (o)$.

🌿 Zrkadlo v prírode
Symetria je zobrazenie. Motýľ, list stromu, vločka – všetky ukazujú, že geometria nie je len v učebnici, ale všade okolo.

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie (Vhodné pre školskú matematiku).
Je daná priamka $p$ a body $\small A, B$ ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$. Určte bod $\small X ∈ p$ tak, aby súčet $\small |AX|+ |BX|$ bol čo najmenší.
Riešenie Tu.

Pri vytváraní zložených zhodných zobrazení má špecifické postavenie aj posunutie. Preto sme definíciu posunutia zaradili do hlavnej časti tejto kapitoly.

Definícia (Posunutie).
Daný je vektor $\vec{u}$. Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu $\small X$ je bod $\small X'$, pričom platí rovnosť vektorov $\small \vec{u}=\vec{XX'}$, sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor $\vec{u}$ nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor $\vec{u}$ budeme označovať $\tau_{\vec{u} }$.

Otvorte si applet Tu.

Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.
Určenie vektora posunutia, ak posunutie je dané dvomi osovými súmernosťami je prezentované appletom "Posunutie".

Otvorte si applet "Posunutie" Tu.

Typický príklad na posunutie vhodný pre gymnáziá..
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.

Otvorte si riešenie Tu.

Definícia.
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou $o$ a vektorom $\vec{u}$ budeme označovať $\psi_{o;\vec{u}}$).

V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.

Tvrdenie
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.

Dôkaz
Nech sú dané osové súmernosti $\sigma (o_1), \sigma (o_2), \sigma (o_3)$ a nech $o_1 \neq o_2 \neq o_3 \neq o_1$ sú navzájom rôzne priamky. Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:

1. Všetky priamky sú navzájom rovnobežné → výsledné zložené zobrazenie je osová súmernosť.
2. Dve sú rovnobežné a tretia ich pretína → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť.
3. Priamky ležia na stranách trojuholníka (navzájom sú rôznobežné) → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť. Otvorte si applet Tu.

Cvičenie (Vhodné pre školskú matematiku).
Daný je pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$ a body $\small X, Y$ , pričom $\small (ABX) = (DEY ) = 2$. Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník $\small AXS$ do trojuholníka $\small Y DF$. Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?

Riešenie