Geometria a digitálne nástroje (kópia)

	Univerzita Mateja Bela          Fakulta prírodných vied

Vladimír Kobza

Banská Bystrica 2025

Výučba geometrie sa počas storočí menila spolu s vývojom spoločnosti, školských systémov a dostupných didaktických prostriedkov. Klasická euklidovská geometria, založená na axiomatickom systéme a logickom odvodení, zostáva aj dnes základným pilierom matematického vzdelávania, a to nielen pre jej historickú hodnotu, ale najmä pre rozvoj analytického myslenia, priestorovej predstavivosti a schopnosti argumentovať.
V tejto publikácii sa pokúšame o inovatívne prepojenie tradičného obsahu euklidovskej planimetrie s možnosťami, ktoré prinášajú moderné digitálne technológie – najmä dynamické geometrické systémy (GeoGebra) a výučbové systémy správy učenia (LMS, konkrétne Moodle). Táto kombinácia umožňuje preniesť geometriu z tabule a zošitov do digitálneho prostredia, kde sa jej zákonitosti dajú vizualizovať, skúmať a experimentálne overovať v reálnom čase.

Dynamické geometrické systémy ako GeoGebra poskytujú nástroje na tvorbu interaktívnych modelov, ktoré umožňujú študentom manipulovať s geometrickými objektmi, sledovať ich vzťahy a pozorovať dôsledky ich transformácií. V kontraste k statickému znázorneniu geometrie v učebniciach umožňuje tento prístup nielen lepšie pochopenie pojmov a väzieb, ale zároveň podporuje konštruktivistický prístup k učeniu, kde sa vedomosti budujú na základe vlastnej aktivity a objavovania.

Integrácia týchto vizualizačných nástrojov do komplexného výučbového systému Moodle poskytuje priestor na systematické usporiadanie výučby, spätnú väzbu, automatizované hodnotenie a sledovanie pokroku žiakov. Moodle zároveň umožňuje gamifikáciu vzdelávacieho procesu, využitie multimédií a zapojenie rozličných typov úloh a testov, čím sa geometria stáva dostupnejšou, zaujímavejšou a viac inkluzívnou pre širšie spektrum žiakov.

Táto publikácia vznikla ako odpoveď na potrebu prepojenia klasického obsahu so súčasnými edukačnými technológiami a zároveň ako podpora učiteľov, ktorí chcú inovovať svoju výučbu matematiky. Jej cieľom je ponúknuť interaktívne spracovanie tematického celku planimetrie so zreteľom na didaktické zásady, logickú nadväznosť a pedagogickú účinnosť. Didaktické spracovanie jednotlivých kapitol vychádza zo skúseností z reálnej výučby a je podporené interaktívnymi aktivitami priamo dostupnými v prostredí Moodle, doplnenými o konštrukčné aplikácie v GeoGebre.

Zvlášť dôležité je, že publikácia nie je iba elektronickou učebnicou či súborom konštrukčných nástrojov. Je to prepracovaný systém výučby geometrie, ktorý prepája tradičné poznatky s   inovatívnymi formami práce a kladie dôraz na aktívne učenie. Vychádzame pritom z presvedčenia, že geometria má osobitný význam pre formovanie presnosti myslenia, schopnosti vizualizovať abstraktné vzťahy a vytvárať si vlastné reprezentácie priestoru.

Veríme, že takýto prístup môže byť prínosom nielen pre učiteľov matematiky na druhom stupni základných škôl a na stredných školách, ale aj pre študentov učiteľstva matematiky, ktorí sa pripravujú na svoju budúcu pedagogickú dráhu. Ponúkame im materiál, ktorý kombinuje pevný teoretický základ, vizuálnu interaktivitu a flexibilitu digitálnych nástrojov v jednotnom edukačnom prostredí.

Slovo geometria má svoj pôvod v gréckom výraze hé gé meteón, ktorý môžeme voľne preložiť ako "vymeriavanie pozemkov pomocou lán". Pozri prácu [SED  2009].

Geometria ako súčasť matematického poznania má korene hlboko v minulosti ľudskej civilizácie. Slovo „geometria“ pochádza z gréckeho výrazu gé metrein, čo v doslovnom preklade znamená „merať zem“. Táto etymológia nie je náhodná – prvotná motivácia pre vznik geometrických postupov bola čisto praktická: rozmeriavanie pozemkov, výpočet objemov zásob, rozdelenie úrody či orientácia v priestore.
Už v starovekej Mezopotámii a Egypte nachádzame dôkazy o systematickom využívaní geometrických poznatkov. Babylonské hlinené tabuľky a egyptské papyrusy (napr. známy Rhindov papyrus) obsahujú záznamy o výpočtoch obsahov trojuholníkov, kruhov či objemov pravidelných telies. Tieto výpočty sa opierali o skúsenosť a empiricky overené vzorce – išlo teda o praktickú geometriu, ktorej cieľom bolo vyriešiť konkrétny problém, nie objasniť jeho teoretický základ.
Uvedieme ukážku riešenia úlohy o výpočte obsahu rovnoramenného trojuholníka z obdobia mezopotámskej ríše. Pripomíname, že matematika tohto obdobia používala šesťdesiatkovú číselnú sústavu.

Úloha. (Babylon)
Je daný trojuholník so stranami: (1,40) dĺžka každej z dvoch strán, (2,20) šírka. Aká je plocha?

Pôvodná formulácia úlohy "Vypočítajte obsah trojuholníka" je vyrytá v starobabylonskej tabuľke YBC 8633. Na tomto tablete je klinovým písmom zachytený aj postup výpočtu obsahu ale len rovnoramenného trojuholníka.

Poznámky
Na výpočet obsahov trojuholníkov používali mezopotámski matematici nasledovné vzorce:

1. $\small S= \frac{1}{2} a.r$ pre rovnoramenný trojuholník (približný výpočet) 
2. $\small S= \frac{1}{2} a.b$ pre pravouhlý trojuholník (presná hodnota), kde $a$ je základňa a $r$ rameno rovnoramenného trojuholníka resp. odvesny $a,b$ pravouhlého trojuholníka.
3. Pozrite si riešenie úlohy prezentovaný appletom GeoGebra Tu.

K rozvoju geometrie prispeli aj egyptskí učenci, ktorí boli nútení po každoročných záplavách Nílu nanovo rozmeriavať pozemkové parcely. Zároveň museli ovládať aj postupy pri rozdeľovaní úrody. Z toho vznikla potreba vedieť vypočítať obsahy rôznych geometrických útvarov ako aj postupy riešenia jednoduchých rovníc. Pozrite si ukážky:
Egypt - obdobie elementárnych matematických pojmov.
Rhindov a Moskovský papyrus.
Výpočet obsahov obdĺžnikov, kruhov, trojuholníkov a objemy kvádrov, zrezaných kužeľov a pyramíd. Riešenie rovníc - pozrite si riešenie úlohy R40 z Rhindovho papyrusu.

Úloha
Je potrebné rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.

Poznámky k pôvodnému riešeniu, ktorý je uvedený na papyruse. Pozrite tiež prácu [BEC, 2003]

1. Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia.
2. Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní.

Pôvodné riešenie úlohy R40:
Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
$\small 1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]$
Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame
$\small d=5 \frac{1}{2}$
Ide teda o postupnosť
$\small 2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23$,
ktorej súčet je $\small 60$. Číslo $\small 60$ musíme vynásobiť číslom
$\small 1 \frac{2}{3}$,
aby sme získali požadovaný súčet $\small 100$. Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti. Hľadaná aritmetická postupnosť je teda:
$\small 1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3}$,
ktorej diferencia je $\small 9 \frac{1}{6}$. Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený.

V súčasnosti by sa táto úloha mohla počítať takto: 
Chybný predpoklad by sme nahradili neznámou $\small a$ a dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych:
$\small a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100$
$\small a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )]$.
po ekvivalentných úpravách by sme dospeli k tomu istému výsledku.

Zlomovým momentom vo vývoji geometrického myslenia bolo obdobie antického Grécka, kde sa začal formovať nový prístup k matematike – deduktívny. Jednoznačne možno konštatovať, že vedecký prístup ku geometrii ale nielen ku geometrii začal svoju trajektóriu v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.

Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo.

Grécky matematik Thales z Milétu ako jeden z prvých pochopil význam dôkazu a formulácie všeobecných tvrdení. Jeho nasledovník Pytagoras rozšíril túto myšlienku o geometrické konštrukcie a proporcie, a napokon Euklides v 3. storočí pred n. l. vytvoril ucelený systém geometrických vedomostí v diele Stoicheia (Základy). Euklidove Základy môžeme považovať za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Najväčšiu zásluhu pre rozvoj geometrie majú najmä grécki učenci Thales, Pytagoras, Euklides a Archimedes.

1. Grécka matematika položila základy pre axiomatický systém rovinnej geometrie, ktorý sa opieral o nemenné vzťahy (axiómy) a deduktívne odvodené tvrdenia (postuláty). Prvýkrát v dejinách matematiky bol takýto systém publikovaný v spomínaných Základoch.
   Existuje český preklad od Servíta Tu, Heathov preklad v online verzi od D.E.Joyce Tu. V roku 2022 vyšiel v nakladateľstve Perfekt slovenský preklad s komentármi od profesora J. Čižmára.
2. Prvé vedecko-odborné dôkazy začali používať, pričom používali deduktívnu metódu. Z tohto obdobia sú známe tri problémy
• trisekcia uhla,
• zdvojenie kocky,
• kvadratúru kruhu,
3. ktoré sa Gréci snažili vyriešiť len použitím pravítka a kružidla.

Z pedagogického hľadiska však treba dodať, že hoci bola euklidovská geometria považovaná za vzor istoty a logiky, spôsob jej vyučovania sa počas stáročí značne líšil. Kým v antike bola chápaná ako nástroj na kultivovanie myslenia, v novoveku sa často redukovala na formálne dôkazy a pamäťové osvojovanie viet.
V súčasnosti, v ére digitálnych technológií, sa nám ponúka možnosť vrátiť sa k pôvodnému zámeru antických matematikov – porozumieť svetu pomocou logickej štruktúry a zároveň s využitím konkrétnych nástrojov na jeho znázornenie a overovanie. Práve moderné dynamické nástroje, ako je GeoGebra, nám umožňujú „oživiť“ klasickú geometriu tak, aby sme neboli iba pasívnymi prijímateľmi poznatkov, ale sme sa mohli stať ich aktívnymi objaviteľmi.
V tejto publikácii preto nenájdete len historické fakty o vývoji geometrie – pokúsili sme sa sprostredkovať aj to, ako by sme mohli na tieto poznatky nadviazať dnes. Ukážky starobabylonských výpočtov, egyptských praktických úloh, ale aj prepisy Euklidových dôkazov sú doplnené o interaktívne appletové konštrukcie a animácie, ktoré umožňujú vstúpiť do samotného procesu tvorby matematických vzťahov.
Chceme tým zdôrazniť, že aj keď sa forma vzdelávania mení – od klinového písma cez pergamen až po LMS Moodle – esencia geometrického poznávania zostáva rovnaká: snaha porozumieť priestoru, vytvárať poriadok v zdanlivom chaose a nájsť krásu v pravidelnosti. Našou ambíciou je, aby sa história geometrie stala nielen kultúrnym dedičstvom, ale aj živým a funkčným prvkom súčasného vzdelávania.

“Pane, niet kráľovskej cesty ku geometrii.”
Euklidova odpoveď na žiadosť Ptolemaia I. vysvetliť mu svoje Základy rýchlo a ľahko.

Úvodné poznámky ku kapitole
Táto kapitola je venovaná jednému z najvýznamnejších diel v dejinách vedy – Elementom (Základom) od Euklida z Alexandrie. Ich význam presahuje rámec matematiky; predstavujú jeden z prvých pokusov o systematickú výstavbu poznania z východiskových princípov. Dielo je napísané tak precízne, že s malými úpravami slúžilo ako učebnica geometrie viac ako dve tisícročia.
Cieľom tejto kapitoly nie je len predstaviť obsah Euklidových Základov, ale aj ukázať, ako možno ich logickú štruktúru a filozofiu využiť v dnešnom digitálnom vzdelávaní. Vďaka prostrediu GeoGebra môžeme dynamicky zobrazovať klasické konštrukcie, overovať tvrdenia a odhaľovať súvislosti, ktoré sú v tradičnom (statickom) podaní ťažko postrehnuteľné.

1. Axiomatická výstavba geometrie
Euklides buduje svoju geometriu na jasne štruktúrovanom systéme pozostávajúcom zo štyroch úrovní:

1. Základné pojmy (definície) – intuitívne popisy objektov ako bod, priamka či rovinný útvar.
2. Postuláty (axiomy) – základné tvrdenia prijímané bez dôkazu, ktoré vyjadrujú konštrukčné možnosti v rovine.
3. Všeobecné zásady (common notions) – logické princípy typu „veci rovné tej istej veci sú si rovné navzájom“.
4. Tvrdenia (propozície) – odvodené výroky dokazované na základe predchádzajúcich bodov.

Poznámka.
Už táto koncepcia ukazuje výnimočnosť Euklidovho prístupu – dôraz na dedukciu a konzistentnú výstavbu poznania je základom každej serióznej vedeckej teórie. Pre dnešného študenta je však zrozumiteľnosť týchto pojmov často problémová. Práve preto ich v tejto publikácii prepájame s vizuálnymi reprezentáciami a interaktívnymi prvkami, ktoré umožňujú ich „konštruktívne uchopenie“.

2. Euklidove postuláty
Z piatich Euklidových postulátov sú tri čisto konštrukčné:

1. Spojiť dva body priamkou.
2. Predĺžiť úsečku na ľubovoľnú dĺžku.
3. Opísať kružnicu so zadaným stredom a polomerom.
4. Štvrtý sa týka zhodnosti pravých uhlov a piaty – známy ako postulát o rovnobežkách – hovorí, že ak priamka pretnutím dvoch iných vytvára vnútorné uhly menšie než dva pravé, potom sa tieto dve priamky stretnú na strane, kde sú tieto uhly menšie.
5. Piaty postulát má zvláštne postavenie piateho postulátu je dôvodom, prečo sa stal predmetom mnohých snáh o jeho dokázanie, čo napokon viedlo k objaveniu neeuklidovských geometrií. Tento moment je skvelou príležitosťou na diskusiu o hraniciach formálnej logiky a o tom, ako rozšírenie rámca axióm vedie k novým (a rovnako platným) modelom reality.
Matematici sa takmer 2000 rokov snažili piaty postulát dokázať z predchádzajúcich alebo ho aspoň nahradiť niečím jednoduchším, zjavnejším. Neúspešne.

3. Definície a základné pojmy
Euklides neformálne definuje základné objekty takto:

• Bod – to, čo nemá časti.
• Čiara – dĺžka bez šírky.
• Úsečka je čiara, ktorá je v každom svojom bode rovná.
• Kruh – rovinný útvar, ktorého všetky body ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu.

Poznámka.
Tieto definície sú výsostne intuitívne a niektoré z nich nie sú formálne korektné v dnešnom zmysle slova. Dnes vieme, že bod sa definuje ako prvok množiny, nie ako „to, čo nemá časti“. No na účely výučby môžeme tieto intuitívne obrazy efektívne využiť ako východisko, ktoré potom spresňujeme prostredníctvom aktivít a konštrukcií.

4. Vybrané tvrdenia z 1. knihy Základov
Kapitola obsahuje analýzu niekoľkých základných propozícií, ktoré sú súčasťou 1. knihy Základov. Ich výber bol motivovaný tým, že tvoria základ geometrického myslenia a zároveň sú ľahko vizualizovateľné v GeoGebre.

• Tvrdenie I.1 – Konštrukcia rovnostranného trojuholníka.
• Tvrdenie I.2 - Z daného bodu $\small A$ narysovať úsečku $\small AF$ zhodnú s danou úsečkou $\small BC$.
  
  Dôkaz tvrdenia vo forme dynamickej konštrukcie si otvoríte Tu.
• Tvrdenie I.4 (veta sus) – Dva trojuholníky so zhodnými dvoma stranami a uhlom medzi nimi sú zhodné.
• Tvrdenie I.5 – V rovnoramennom trojuholníku sú uhly pri základni zhodné.
• Tvrdenie I.29 – Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára na týchto priamkach zhodné striedavé uhly.

Úvod
Rovnoramenný trojuholník je jedným z najdôležitejších geometrických útvarov pri výučbe planimetrie. Nielenže je jeho tvar vizuálne ľahko rozpoznateľný, ale zároveň poskytuje výborný rámec na skúmanie základných pojmov ako sú zhodnosť, osová súmernosť, uhly a konštrukcie. V tejto kapitole sa zameriame na definíciu a vlastnosti rovnoramenného trojuholníka, pričom osobitnú pozornosť venujeme Euklidovmu dôkazu jednej z najklasickejších viet – o rovnosti uhlov pri základni.
Naším cieľom však nie je len rekapitulácia známych faktov. Pomocou dynamických geometrických nástrojov, ako je GeoGebra, budeme tieto vlastnosti vizualizovať, analyzovať a prepojiť s deduktívnym myslením. Kapitolu sme doplnili o komentáre, ktoré usmernia čitateľa v interpretácii klasických konštrukcií a podporia jeho schopnosť samostatne formulovať a overovať hypotézy.

Definícia a klasifikácia
V klasifikácii trojuholníkov podľa strán rozoznávame:

• Rovnostranný trojuholník – všetky tri strany sú zhodné.
• Rovnoramenný trojuholník – dve strany sú zhodné, tretia je základňou.
• Rôznostranný trojuholník – všetky tri strany majú rozdielnu dĺžku.

Z hľadiska uhlov rozlišujeme:

• Pravouhlý trojuholník – obsahuje jeden pravý uhol.
• Tupouhlý trojuholník – obsahuje jeden tupý uhol.
• Ostrouhlý trojuholník – všetky uhly sú ostré.

Vety a konštrukcie trojuholníka v duchu Euklida
Trojuholník je jeden z najzákladnejších geometrických útvarov. Aj keď ide o jednoduchú figúru zloženú z troch strán a troch uhlov, v skutočnosti v sebe skrýva množstvo geometrických zákonitostí. Práve v štúdiu trojuholníka sa prejavuje sila a elegancia deduktívneho systému, ktorý Euklides predstavil vo svojich Základoch.
V tejto kapitole sa zameriame na dve hlavné oblasti: klasické vety o trojuholníku, ktoré opisujú základné vzťahy medzi jeho stranami a uhlami, a euklidovské konštrukcie, ktoré ukazujú, ako možno trojuholník alebo jeho prvky zostrojiť pomocou ideálneho pravítka a kružidla. Vďaka dynamickým nástrojom ako GeoGebra budeme môcť tieto tvrdenia nielen overovať, ale aj konštrukčne realizovať, čo umožňuje hlbšie porozumenie a aktívne učenie.

Základné vety o vlastnostiach trojuholníka
1. Trojuholníková nerovnosť
Tvrdenie: Súčet dĺžok ľubovoľných dvoch strán trojuholníka je väčší ako dĺžka tretej strany.

Euklidovská rovina ako matematický model je definovaná množinou axióm, ktoré určujú jej štruktúru a vzťahy medzi geometrickými entitami. Na rozdiel od tradičného prístupu, v ktorom sa geometrické objekty konštruujú manuálne, prostredie DGS špeciálne GeoGebra vyžaduje deterministické (jednoznačné) definície všetkých prvkov.Tieto definície sú kódované v príkazovom jazyku systému a zakladajú sa na presnom algebraickom modeli dvojrozmerného afinného priestoru nad reálnymi číslami.

Je dôležité, aby prvky geometrických útvarov boli deterministicky definované (Vallo, 2021). Uvedieme ukážku ako sa s problémom totožnosti bodov vysporiadali tvorcovia softvéru GeoGebra. V práci (KOB, 2024) je popísaný model, ktorý je izomorfný s afinným dvojrozmerným priestorom nad poľom reálnych čísel. Uvádzame doslovný prepis tohto modelu.

Požiadavka determinovanosti z pohľadu geometrie znamená presne stanoviť, čo predstavuje bod so súradnicami $\small (a,b)$. Presné geometrické vymedzenie (determinovanosť) veľmi dobre interpretujú nasledovné príkazy softvéru GeoGebra.

1. Príkaz $\small A = (a,b)$ vygeneruje na zobrazovacej ploche bod so súradnicami $\small (a,b)$ a s popisom $\small A$.
   
2. Príkaz $\small B = (a,b)$ vygeneruje opäť bod s tými istými súradnicami a s popisom $\small B$.

Obidva body sa budú prekrývať a budú prezentovať dva totožné body. Môžeme ich aj farebne odlíšiť, čo sa zjavne prejaví pri dynamickej zmene bodu $\small B$.
Pri klasickej výučbe geometrie (manuálne rysovacie prostriedky) je problematické reálne „pracovať“ s totožnými (identickými) útvarmi. Napríklad dva rôzne ale totožné body rozlíšime len tak, že pri ich popise uvedieme $\small A = B$.
Poznámka. V DGS priesečník dvoch priamok sa musí exaktne definovať pomocou nástroja Priesečník. Ak nie, tak DGS ho neidentifikuje ako bod.

V súčasnej edukácii geometrie zohrávajú dynamické geometrické systémy (DGS) čoraz významnejšiu rolu. Tieto technológie umožňujú nielen vizualizáciu a manipuláciu s geometrickými objektmi, ale aj hlbšie pochopenie ich vlastností prostredníctvom interakcie. V tejto kapitole zameriavame na špecifiká, ktoré prináša modelovanie euklidovskej roviny v prostredí softvéru GeoGebra – jedného z najrozšírenejších nástrojov DGS v školskom i akademickom prostredí.

Hilbertov axiomatický systém

V roku 1899 slávny matematik David Hilbert publikoval prácu Grundlagen der Geometrie, v ktorej navrhuje axiomatický systém, nahrádzajúci tradičné axiómy Euklida. Hilbert definuje geometriu ako formálny systém postavený na:

• primitívnych objektoch: body, priamky, roviny;
• primitívnych vzťahoch: incidencia (napr. „bod leží na priamke“), usporiadanie („bod $\small B$ leží medzi $\small A , C$“), používa sa označenie $\small A \ast B \ast C$ a kongruencia („$u \cong v$ ["úsečka $u$ je zhodná s úsečkou $v$"],“).

Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.

1. axiómy incidencie - napr. „dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka“.
2. axiómy usporiadania - zavádzajú poradie bodov na priamke a pojmy ako „medzi“.
3. axiómy zhodnosti (kongruencie) - umožňujú prenášať dĺžky a uhly – zabezpečujú rigiditu priestoru.
4. axióma o rovnobežnosti - zodpovedá Euklidovmu 5. postulátu – dá sa nahradiť alternatívami v neeuklidovských geometriách.
5. axiómy spojitosti - zabezpečujú spojitosť priestoru – analógia vlastností reálnych čísel.

Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm. Ako deduktívne dôsledky týchto axióm Hilbertov systém zahŕňa tvrdenia, ktoré vyjadrujú vzťahy medzi geometrickými objektmi. Ako ukážku uvádzame jedno z prvých dokázaných tvrdení.

Tvrdenie
Ak $p,q$ sú dve rôzne priamky, potom $p$ a $q$ majú najviac jeden spoločný bod.

Dôkaz. nepriamo

• predpokladajme, že $\small p \neq q$ a zároveň $\small A,B \in p \cap q$;
• potom $\small A ∈ p , B ∈ p$ a zároveň $\small A ∈ q , B ∈ q$;
• podľa axiómy I1 existuje priamka $\small \overleftrightarrow{AB}$ je určená bodmi $\small A, B$;
• a zároveň podľa axiómy I1 bude $\small p=\overleftrightarrow{AB}$, lebo $\small A, B \in p$;
• podobne zistíme, že $\small q=\overleftrightarrow{AB}$
• a teda musí platiť $\small p=q$, čo je spor s predpokladom sú totožné.

Poznámky.

1. Význam axiomatického myslenia pre budúcich učiteľov
   „Hilbert veril, že správny spôsob, ako rigorózne rozvíjať akýkoľvek vedecký predmet, si vyžaduje axiomatický prístup. [...] Základným významom axiomatického prístupu je analýza logických vzťahov medzi základnými konceptmi a axiómami.“
   Zach, R. (2005). "Hilbert's Program Then and Now", arXiv
2. Hilbertov axiomatický prístup ako nástroj didaktickej reflexie
   „Hilbert nikdy nepovažoval axiomatiku za východiskový bod pre vývoj matematickej alebo vedeckej teórie. Skôr by sa mala aplikovať len na existujúce, dobre rozpracované disciplíny ako užitočný nástroj na objasnenie a ďalší rozvoj.“
   Corry, L. (2021). "Hilbert and the Axiomatic Approach: Its Background and Development", Academia.edu
3. Hilbertov prístup umožňuje postaviť geometriu ako formálny deduktívny systém, kde nič nie je ponechané intuícii. Dôležitou črtou je možnosť hľadať modely, v ktorých tieto axiómy platia – a tým porovnávať rôzne druhy geometrií.

Modely geometrie.

Model geometrie je konkrétna interpretácia primitívnych pojmov, v ktorej platia (alebo neplatia) určité axiómy. Slúži na overenie konzistentnosti systému a zároveň na ilustráciu toho, že existujú rôzne druhy geometrického priestoru.

1. Euklidovská rovina (klasický model)
   • Body: usporiadané dvojice reálnych čísel.
   • Priamky: lineárne rovnice.
   • Miera: kartézska rovina s bežnou mierou dĺžky a uhla.
2. Hyperbolický model (Poincarého disk)
   • Základný rozdiel: z bodu mimo priamky možno viesť nekonečne veľa rovnobežiek.
   • Vnútorný priestor disku: predstavuje „rovinu“.
   • Priamky: oblúky kružníc kolmé na okraj disku.
   
   Poincaré Disk si môžete aktivovať Tu
   Tento model je kľúčový pri výučbe neeuklidovskej geometrie. V GeoGebre existujú rozšírenia, ktoré umožňujú konštrukcie v Poincarého modeli.
3. Algebraický model (afinná geometria)
   • Body: súradnice v ℝ².
   • Priamky: lineárne rovnice.
   • Bez pojmu uhla alebo vzdialenosti – zachováva len kolinearitu a rovnobežnosť.
Algebraický model je vhodný na precvičenie analytickej geometrie. Je to presne to, čo žiaci poznajú z práce so súradnicovou rovnicou priamky.

1. Sféra ako neincidenčný model
   • Bodmi sú body na guľovej ploche (sfére). Priamkami sú kružnice na sfére so stredom v strede gule.
   • Každé dve priamky sa pretínajú v dvoch bodoch, preto nejde o model incidenčnej geometrie. Otvorte si applet a pohybujte bodmi $\small A,B, C,D$.
   
   Otvorte si interaktívny applet Tu
2. Lineárna perspektíva - priemet Euklidovského priestoru do dvojrozmernej roviny (na plátno). Vhodná pre aplikácie vo výtvarnom umení (perspektíva), architektúre, a počítačovej grafike.
   
   Prevzaté z: Parramón, José M.: Perspektiva pro výtvarníky, Praha : JAN VAŠUT, 1998, ISBN 80-7236-041-8
   Otvorte si projekciu bodov v GeoGebra modeli Tu. Porovnajte s pohľadom na koľajnice. Pohľad na koľajnice je vlastne zobrazenie v lineárnej perspektíve.

Záver
Hilbertov axiomatický prístup a koncept modelov geometrie nám otvárajú oči: geometria nie je len opis sveta okolo nás, ale formálny jazyk, ktorým možno popisovať rôzne „svety“ – každý so svojimi vlastnými pravidlami. Vďaka digitálnym nástrojom môžeme tieto svety nielen predstavovať, ale aj konštruovať, skúmať a porovnávať – interaktívne a experimentálne.

Úvod ku kapitole
V tejto kapitole budeme skúmať základné skupiny axióm, ktoré sú súčasťou Hilbertovho axiomatického systému geometrie – konkrétne zhodnosť, usporiadanie, rovnobežnosť a spojitosť. Tieto axiómy zabezpečujú logickú konzistenciu geometrie, presne definujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi (bodmi, priamkami) a umožňujú rozvoj geometrických dôkazov v duchu formálnej deduktívnej vedy. Kategórie axióm sú číslovaané od hodnoty 2., lebo poradovým číslom 1. bola označená kategória incidencie.
Kapitolu dopĺňajú didaktické komentáre, súvislosti s Euklidovým prístupom a interaktívne prvky (GeoGebra), ktoré podporujú pochopenie abstraktných princípov vo výučbe matematiky.

2. Zhodnosť (kongruencia)

Fráza "zhodné objekty" sa používa na opis útvarov, ktoré za určitých okolností sa navzájom dajú premiestniť tak, aby "sa prekrývali". Presnú charakteristiku dvoch zhodných geometrických útvarov v matematike definujeme pomocou axióm zhodnosti.
Axiómy zhodnosti:

• Z1 – Prenášanie úsečky: Zaručuje existenciu a jednoznačnosť prenesenej úsečky z jedného bodu na druhý.
• Z2 – Symetria zhodnosti: Ak je úsečka $\small AB$ zhodná s úsečkou $\small CD$, potom $\small CD$ je zhodná s $\small AB$.
• Z3 – Tranzitívnosť zhodnosti: Ak $\small AB$ ≅ $\small CD$ a $\small CD$ ≅ $\small EF$, potom $\small AB$ ≅ $\small EF$.
• Z4 - Prenášanie uhla: Zaručuje, že uhol možno preniesť tak, aby vznikol zhodný uhol na inom mieste.
• Z5 – Symetria a tranzitívnosť uhlov: Analogicky ako pri úsečkách.
• Z6 – Zhodnosť trojuholníkov (kritérium sus – SUS): Ak dve trojice strán a uhol nimi zovretý sú zhodné, tak trojuholníky sú zhodné.

V historickom vývoji geometrie nájdeme dva východiskové míľniky, ktoré by sme mohli charakterizovať tromi otázkami:
„Ako to vytvoriť? “
„Prečo to platí?“
„Platí piaty Euklidov postulát?“
Pozrite si práce [GRE], [VAL].

1. Začiatok tejto cesty „Ako “ môžeme spoľahlivo situovať do obdobia takmer 3 tisícročí pred naším letopočtom, je predovšetkým obdobie rozvinutého Babylonu a starovekého Egypta.
2. Pokrokové štádium „Prečo“ vzniklo v antickom Grécku a pokračovalo do objavenia neeuklidovských geometrií. V práci [KOB, 2024] je uvedená pekná myšlienka: "S úctou k velikánom gréckej matematiky a filozofie treba zdôrazniť, že mnohé grécke myšlienky predbehli svoju dobu o dve nasledujúce tisícročia."

Zatiaľ čo prvé dve otázky formulované v úvode kapitoly majú svoje korene v praktických potrebách starovekých civilizácií a systematických snahách gréckeho myslenia, tá tretia sa stala impulzom pre vznik alternatívnych geometrií — tzv. neeuklidovských.

🧠 Revolúcia v geometrii
Piaty Euklidov postulát spôsobil viac ako 2000-ročnú diskusiu. Od Ptolemaia, cez Ibn al-Haythama, až po Saccheriho a Lobačevského sa matematici pokúšali dokázať ho z ostatných axióm – neúspešne. V 19. storočí vznikla hyperbolická geometria, nezávisle objavená Lobačevským a Bolyaiom. Riemann pridal eliptickú geometriu, čím vznikol pluralizmus geometrických svetov, ktorý predbehol aj Einsteina v chápaní priestoru a zakrivenia.

Objav týchto geometrií v 19. storočí neznamenal len rozšírenie matematického aparátu, ale zásadnú zmenu paradigmy – podobne revolučnú ako Darwinova teória v biológii. Objav neeuklidovských geometrií patrí k významným míľnikom vo historickom vývoji matematiky. Výstižne to vyjadrujú slová M. Greenberga (pozrite si prácu [GRE]) : Moderné digitálne technológie, ako GeoGebra a výučbové systémy typu LMS Moodle, umožňujú dnes študentom nielen pochopiť základné koncepty hyperbolickej a sférovej geometrie, ale aj experimentálne overovať ich dôsledky v reálnom čase. Didaktická hodnota týchto systémov spočíva najmä v tom, že matematické objekty prestávajú byť abstraktné – dostávajú tvar, pohyb a zmysel.
Používanie nových technológií a umelej inteligencie je dnes už samozrejmou súčasťou moderného vyučovania. Ich výrazné využívanie podnietilo revolučnú zmenu v myslení všetkých aktérov vzdelávania.

Hyperbolická geometria – geometria viacerých rovnobežiek

Definícia.
Geometria, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát, no zachováva axiómy incidencie, zhodnosti a usporiadania.

Neeuklidovské geometrie rozdeľujeme do dvoch kategórií:

1. Hyperbolická geometria, v ktorej daným bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve rovnobežky. Do tejto kategórie zaraďujeme napríklad Poincaré disk.
2. Parabolická geometria, v ktorej neexistuje žiadna rovnobežka idúca daným bodom neležiacim na danej priamke. Do tejto kategórie môžeme zaradiť aj sférickú geometriu.

V hyperbolickej geometrii prechádzajú daným bodom mimo priamky viac než jedna rovnobežka. Tento princíp sa najčastejšie modeluje v Poincarého disku, kde „priamky“ nie sú euklidovské úsečky, ale časti kružníc ortogonálnych na okraj disku. Pri konštrukciách v hyperbolickej geometrii s výhodou využívame rozšírenú/upravenú verziu softvéru GeoGebra, ktorý sme nazvali Poincaré disk. Tento softvér ponúka viacero nástrojov:

• hPriamka – generuje hyperbolické priamky ako oblúky kružníc
• hKružnica – verzie: kružnica určená stredom a bodom, kružnica určená stredom a polomerom
• Poincaré disk – vizualizuje hyperbolické geometrické úlohy s možnosťou animácií.

Hyperbolické konštrukcie v Poincaré disku podporujú deduktívne myslenie mimo euklidovskej intuície.

V našej práci sa budeme zaoberať hlavne hyperbolickou rovinnou geometriou ale okrajovo sa budeme venovať aj sférickej geometrii.
Za východisko pre hyperbolickú rovinu si vezmeme dvojdielny hyperboloid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$. Uskutočníme dve operácie:

1. Ľubovoľné dva body hyperboloidu, ktoré sú súmerné podľa stredu hyperboloidu "stotožníme". Táto operácia nám umožní pracovať len s jednou časťou hyperboloidu, teda pod bodom hyperboloidu budeme chápať len bod na jednej časti hyperboloidu. Pomenujeme ho hBod.
2. Stredová rovina určená dvomi bodmi hyperboloidu a jeho stredom vytvorí rez na tomto hyperboloide, ktorým je vo všeobecnosti hyperbola. Zavedieme špeciálnu operáciu "prienik", ktorá reálne priradí dvom rôznym hBodom $\small A,B$ jednu vetvu hyperboly. Pozri obrázok hPriamka. Pod priamkou hyperbolickej rovinnej geometrie budeme teda chápať túto pol-hyperbolu, budem ju označovať hPriamka.

Poznámky.

1. Stredová rovina je rovina prechádzajúca stredom $\small O$ hyperboloidu. Rezom je hPriamka.
2. Keďže rezy stredových rovín s hyperboloidom môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolickej hPriamky:
   • ak stredová rovina pretína hyperboloid v hyperbole, tak jednu vetvu rezu nazveme vlastná hPriamka 1. druhu,
   • ak rovina asymptoticky prilieha k hyperboloidu, vzniká tzv. nevlastná hPriamka 1. druhu (dotyk v nekonečne), 
   • ak stredová rovina nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná hPriamka 2. druhu.

Didaktický komentár

Zaradenie hyperbolickej geometrie do výučby geometrie umožňuje žiakom spoznať, že geometria nie je jediná možná – že závisí od prijatých axióm. Študenti sa v Poincarého modeli stretávajú s tým, že:

• rovnobežky môžu byť viaceré,
• trojuholníky majú súčet uhlov menší ako 180°,
• „rovné“ úsečky nie sú rovné v euklidovskom zmysle (oblúky kružníc).

GeoGebra poskytuje vynikajúci priestor na experimentovanie a overovanie hypotéz: napr. či je možné zostrojiť rovnobežky, ako sa mení „obvod“ kruhu, alebo ako vyzerá rovnostranný trojuholník.
Tieto aktivity rozvíjajú geometrickú predstavivosť, argumentáciu a logické myslenie, ktoré sú jadrom matematickej gramotnosti budúcich učiteľov.

Sférická geometria – geometria konečných svetov

Sférická geometria sa odohráva na povrchu gule. Základné objekty sú:

• Body: body na sfére.
• Priamky: hlavné kružnice (rez gule rovinou prechádzajúcou jej stredom).

V tomto modeli platí:

• Každé dve priamky sa pretínajú v dvoch bodoch.
• Neexistujú rovnobežky.
• Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je väčší ako 180°.
• Existujú dvoj-uholníky: útvary ohraničené dvoma priamkami s dvoma vrcholmi (napr. poludníky).

Hilbertove axiómy:

• Zhodnosť, usporiadanie – sú aplikovateľné s modifikáciami.
• Rovnobežnosť – neplatí.
• Spojitosť – zachováva sa topologická štruktúra.

Pri premietnutí sféry stredovým priemetom z pólu do roviny dotyku vzniká stereografická projekcia, v ktorej sa hlavné kružnice zobrazujú ako:

• Kružnice (neprechádzajúce pólom).
• Priamky (prechádzajúce pólom projekcie).

 
Obr. Sféra - projekcia (otvorte si interaktívny applet Tu).

Sférická geometria vo výučbe a výskume

Niektoré z publikácií a dostupných materiálov na tému výučby sférickej geometrie:

• Greenberg, M. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History (W.H. Freeman, 1993).
  → Prehľad histórie aj didaktickej aplikácie neeuklidovských geometrií
• M. Christersson: GeoGebra Constructions in the Disc.
• Hitchman, M. Geometry with an Introduction to Cosmic Topology (Oregon 2018)
  → Inovatívny prístup ku sférickej a hyperbolickej geometrii so zameraním na aplikácie vo fyzike a kozmológii.

Didaktický komentár

Zaradenie sférickej geometrie do prípravy budúcich učiteľov otvára dvere k porovnávaniu modelov, experimentovaniu s axiómami a lepšiemu porozumeniu samotnej podstaty geometrie. Práve konflikt medzi intuitívnym očakávaním (napr. o rovnobežkách či súčte uhlov) a matematickou realitou iného modelu vytvára v edukačnom procese najväčšiu pridanú hodnotu. Je vhodné študentom zdôrazniť zásadné rozdiely medzi rôznymi modelmi geometrií, nparíklad formou tabuľky:

Model	Rovnobežky	Súčet uhlov	Priamky	Poznámka
Euklidovský	1	180°	priame línie	klasická rovina
Hyperbolický	∞	< 180°	oblúky kružníc	Poincaré disk
Sférický	0	> 180°	hlavné kružnice	žiadne rovnobežky, dvoj-uholníky

Modely geometrie – most medzi axiómou a skúsenosťou
V axiomatickom systéme geometrie zohrávajú modely kľúčovú úlohu. Predstavujú konkrétnu interpretáciu primitívnych pojmov, kde sú overované platnosti jednotlivých axióm. Vďaka modelom dokážeme odpovedať na otázky typu: „Sú naše axiómy konzistentné?“ alebo „Existuje aj iný svet, kde piaty Euklidov postulát neplatí?“

O niektorých modeloch sme písali už v kapitole Hilbertov axiomatický systém. Napríklad sme charakterizovali model, ktorý sa používa na stredných školách pri riešení úloh pomocou metód analytickej geometrie. Tento model budeme nazývať Euklidovský model – "známa krajina". V ňom platí:

• Body: usporiadané dvojice reálnych čísel.
• Priamky: množiny riešení lineárnych rovníc.
• Euklidovská rovina – dvojrozmerný priestor nad ℝ², s obvyklou metrikou vzdialenosti a meraním uhlov založenou na známej Pytagorovej vete a na trigonometrickej geometrii.

Ide o model, ktorý poznáme z bežného školského vyučovania. Vyjadruje vzájomné prepojenie medzi euklidovskou rovinou a algebrou, pričom využíva známy karteziánsky systém súradníc. Je intuitívny, avšak nepokrýva celú škálu možností, ktoré axiomatika pripúšťa. V tejto časti práce väčšiu pozornosť venujeme hyperbolickej geometrii, v ktorej môžeme zostrojiť viaceré rovnobežky. Preskúmame konštrukčné možnosti, ktoré poskytuje model Poincarého disku. Ako sme už v predchádzajúcej kapitole uviedli (bez dôkazu), v tomto modeli sú:

• Body: vnútorné body otvoreného kruhu.
• Priamky: oblúky kružníc kolmých na hranicu kruhu.
• Rovnobežnosť: z bodu mimo priamky vedie nekonečne veľa rovnobežiek.
Tieto vlastnosti v ďalšej časti aj dokážeme.

Poincarè model- pozrite obrázok "Priemet hyperboloidu.

• model je definovaný ako otvorený disk, ktorý vznikne stredovým priemetom jednej vetvy (hornej časti) hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$,
• za stred premietania je je zvolený bod $\small V'=(0,0,-1)$ (vrchol spodnej časti hyperboloidu),
• premietame do stredovej roviny, ktorá je kolmá na os hyperboloidu prechádzajúca stredom $\small O=(0,0,0)$.

1. Pomocou metód deskriptívnej geometrie sa dá dokázať, že priemetom tohto hyperboloidu je zrejme otvorený disk  $\omega=(\small O,\; r < 1)$.
2. Otvorený disk so stredom $\small O$ nazývame Poincaré Disk.

GeoGebra rozšírenia umožňujú riešiť známe euklidovské úlohy v netradičnom hyperbolickom prostredí – napr. konštrukciu rovnostranného trojuholníka pomocou hPriamky a hKružnice. Obrázok "Prenášanie úsečky" interpretuje Euklidovo tvrdenie Kniha I., Tvrdenie 2. Model Poincaré disk zachováva uhlové vlastnosti (konformný) a je vhodný na interaktívnu výučbu. 

Beltramiho-Kleinov model

Model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu do roviny kolmej na os hyperboloidu, pričom

• stred premietania je stred hyperboloidu - bod $\small O=(0,0,0)$
• rovina, do ktorej premietame je dotyková rovina hyperboloidu v jeho vrchole $\small V=(0,0,1)$
• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je otvorený kruh $\small k=(V,r=1)$, ak $a=b=c=1$
• kruh s vrcholom $\small V$ a polomerom $r=1$ sa nazýva Klein Disc.

Zhrnutie

1. Bodmi Beltrami Kleinovho modelu sú body Klein Disku.
2. Priamkami sú tetivy tohto disku.

1. V obidvoch modeloch (Beltrami aj Poincaré) existuje viac ako jedna rovnobežka.
2. Kleinov a Poincaré model vznikajú premietaním do roviny. Ide teda o 2 - rozmerné priestory.
3. Výhodou modelu Klein je, že priamky v tomto modeli sú euklidovské (rovné) tetivy. Nevýhodou je, že model nie je konformný.

Zaradenie modelov geometrie (Poincaré, Klein, sférický) má v príprave budúcich učiteľov vysokú didaktickú hodnotu. Umožňuje študentom:

• zažiť, že nie všetko v geometrii je „dané“ – že aj postuláty môžu byť voľbou;
• pracovať v rôznych systémoch pravidiel a porovnávať ich dôsledky;
• rozvíjať schopnosť metakognície – chápať, ako a prečo vlastne geometria „funguje“.

Model Klein je vhodný na ilustráciu „rovných“ priamok (tetív), no deformuje uhly. Naopak, Poincarého disk je konformný – uchováva uholové vlastnosti – a preto sa viac hodí na analýzu vlastností trojuholníkov, ortogonality a podobnosti.

Na záver uvádzame stručnú sumarizačnú tabuľku modelov ako most k ďalším úlohám:

V predchádzajúcich kapitolách sme charakterizovali euklidovské konštrukcie, ktoré používajú len ideálne pravítko a kružítko. Pomocou týchto nástrojov je možné zstrojiť rôzne geometrické útvary, ktoré si nevyžadujú požitie rovnobežky. Euklidovské konštrukcie zohrávajú dôležitú úlohy v každej geometri, teda aj v hyperbolickej geometrii reprezentovanú Poincaré modelom.
Ak chceme v Poincaré modeli konštruovať, tak najskôr musíme popísať do akých útvarov sa zobrazia útvary z hyperboloidu do otvoreného kruhu. Na to, aby sme v Poincarého modeli vedeli rysovať, potrebujeme vedieť, ako sa základné útvary hyperbolickej geometrie premietajú do roviny disku.

1. Bod hyperboloidu?
2. Hyperbola hyperboloidu určená dvoma bodmi?
3. Kružnica hyperboloidu určená troma bodmi neležiacimi na hyperbole?

Uvedieme niekoľko tvrdení a ich konštrukčné dôkazy. Priemet každého bodu hyperboloidu sa zobrazuje do vnútorného bodu disku – ide o základnú vlastnosť stredového premietania. 

Tvrdenie (Priemet priamky).
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$.

Pri dôkaze tohto tvrdenia je nutné najskôr dokázať vlastnosť, že súčin
$a_1 \times a_2=\frac{1}{r}(\sqrt{r²+1}-1) \times \frac{1}{r}(\sqrt{r²+1}+1)=1$
je konštantný. Konštrukčné zdôvodnenie tejto vlastnosti prezentuje applet z obrázka "Priemet hyperboly I.".

Poincaré diskový model môžeme reprezentovať v euklidovskej rovine ako otvorený kruh $\omega = \lbrace{x^2+y^2 \lt 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$. Pre uľahčenie práce v Poincaré modeli bude vhodné podrobne popísať konštrukčné kroky na zostrojenie základných geometrických útvarov

• úsečky
• priamky
• kružnice

Zostrojiť bod v Poincaré modeli znamená zostrojiť bod vo vnútri kruhu ω, čo nie je triviálne.
Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma vnútornými bodmi kruhu použijeme kruhovú inverziu, pozri obrázok "Priemet hyperboly II.". 
Okrem konštrukcie h-priamky musíme popísať aj konštrukciu h-kružnice a ďalších dôležitých útvarov (kolmica, os úsečky a pod).

Nech sú dané dva rôzne body $\small StredKružnice$ a bod $\small  A \equiv$ $\small BodKružnice$ na hyperboloide $\small HYP$. Uvažujme o množine všetkých bodov
$\small k_{HYP}=\lbrace{X \in HYP;\; d(X, A)=konst.}\rbrace$
hyperboloidu, pre ktoré vzdialenosť od pevného bodu $\small StredKružnice$ je konštantná. Množina $\small k_{HYP}$ je v zmysle Euklidovskej definície kružnica. V skutočnosti je to priestorová krivka, ktorá má "kružnicovú" vlastnosť, t.j vzdialenosť od pevného bodu je konštantná. Aj keď ide o priestorovú krivku, ktorú euklidovský pozorovateľ nemusí vnímať ako kružnicu, jej vlastnosť „rovnaká vzdialenosť od stredu“ zostáva zachovaná v hyperbolickej metrike.

Tvrdenie (Priemet kružnice).
Priemetom kružnice $\small k_{HYP}$ do stredovej roviny (do Poincaré disku $\small \omega= \lbrace{x^2+y^2 \lt 1; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$) je tiež kružnica.

Dôkaz tvrdenia "Priemet kružnice" si môžete prezrieť napríklad v práci [GRE, 1994]. Vysvetlivky k appletu z obrázka "Priemet kružnice":

1. Bod $\small B \in HYP$ je symetricky položený k bodu $\small A$ voči stredu kružnice $\small k_{HYP}$.
2. Uvažujme o rovine $\rho$, ktorá je určená bodmi $\small A,StredKružnice$ a bodom StredPremietania.
3. Rovina $\rho$ bude pretínať daný hyperboloid v hyperbole (na obrázku červená krivka).
4. Dotyčnice k tomuto rezu (k hyperbole) zostrojené v bodoch $\small A,B$ sa pretínajú v bode $\small S_1$.

Poznámka.
Na základe tvrdenia "Priemet kružnice" môžeme vytvoriť konštrukciu, pomocou ktorej zostrojíme kružnicu v Poincaré disku určenú stredom $\small S$ a bodom $\small A$.

Didaktická poznámka:
Učitelia a študenti, ktorí sa prvýkrát stretávajú s hyperbolickým modelom, bývajú prekvapení, že „priame“ priamky sú vlastne kružnicové oblúky.
Práca v Poincarého disku je náročná najmä preto, že klasické euklidovské konštrukcie strácajú priamu vizuálnu platnosť. GeoGebra preto zohráva dôležitú úlohu – umožňuje:

• sledovať dynamiku útvarov pri transformácii,
• testovať platnosť axióm v hyperbolickom prostredí,
• nadväzovať na známe konštrukcie pomocou nových pravidiel.

Táto skúsenosť pomáha študentom pochopiť univerzalitu geometrických princípov, a zároveň ich flexibilitu v rôznych modeloch.

Zhrnutie
Vďaka presnej analýze priemetov priamok a kružníc z hyperboloidu vieme, ako reprezentovať a konštruovať základné geometrické objekty v Poincarého modeli. V ďalšej časti predstavíme nové nástroje v GeoGebre, ktoré tieto konštrukcie zjednodušia – čím sa hyperbolická geometria stane dostupnejšou aj pre bežné didaktické účely.

Dôsledky a nové návrhy (Priemet priamky a kružnice)

1. Rysovanie v Poincarè Disku si zjednodušíme ak v GeoGebre vytvoríme nové nástroje, pomocou ktorých narysujeme základný hyperbolický útvar.
2. V predchádzajúcej kapitole sme dokázali, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k hranici Poincaré disku.
3. V prvom rade musíme navrhnúť konštrukciu, ktorá pomocou makra "zobrazí celý " kolmý oblúk (obraz h-priamky).
4. Zároveň musíme navrhnúť konštrukciu, ktorá "zobrazí segment" kolmého oblúka (obraz h-úsečky).
5. Následne sa zameriame na vytvorenie nástroja narysovanie kružnice, ktorá je daná
   • stredom a bodom kružnice,
   • stredom a polomerom, ktorý je daný úsečkou,
   • stredom a polomerom, ktorý je daný kladným reálnym číslom.

Príklad (Vytvorenie nástroja hPriamka).
Daný je disk/otvorený kruh $\small \omega (O, r \lt 1)$ a vnútorné body tohto disku $\small A, B$. Nech úsečka $\small AB$ nie je priemerom disku $\small \omega$ . Zostrojte hPriamku v Poincarého modeli určenú dvoma bodmi $\small A, B$ vo vnútri disku.

Riešenie
Z predchádzajúcich tvrdení vyplýva, že riešením je kružnicový oblúk hraničnej kružnice disku $\small \omega (O, r=1)$ v Euklidovskej rovine, ktorý prechádza bodmi $\small A, B$ a je kolmý na hranicu disku $\small \omega$.
Predpokladajme, že aspoň jeden z bodov $\small A, B$ je rôzny od stredu $\small O$. Postup konštrukčných krokov je uvedený na obrázku "Konštrukcia hPriamky v GeoGebre" vľavo.
Konštrukčné kroky kružnicového oblúka, ktoré zohľadňuje aj prípady

1. úsečka $\small AB$ je priemerom kružnice $\small \omega (O, r=1)$ - v konštrukcii tento prípad má názov "Diameter"
2. obidva body $\small A, B$ ležia na kružnici $\small \omega (O, r=1)$ ale nie sú priemerom - v konštrukcii tento prípad má názov "Nevlastne",
nájdete po aktivovaní navigačného panela (kroky 7,8 a 9).

Konštrukciu je nutné uložiť na vami dostupné médium s vhodným názvom, napr. "hPriamka". Táto konštrukcia bude východiskom pre vytvorenie nového nástroja v GeoGebre.

Postup na vytvorenie nástroja "hPriamka" v GeoGebre.

1. Otvorte si súbor uložený s názvom "hPriamka".
2. V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
3. Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja, ktorý pomenujete napr. hPriamka (podrobnejší výklad nájdete v práci [KOB, 2024]
4. Ak dodržíte všetky pokyny, tak by sa vám na lište nástrojov mala objaviť nová ikona pre nástroj hPriamka.

Používanie nástroja hPriamka.
Postupne aktivujte:

• pôvodný v GeoGebre "Bod" a vytvorte dva rôzne body vo vnútri Poincaré disku$\small \omega$,
• nástroj hPriamka a program zobrazí celý oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).

Prácu s funkčným Poincaré diskom, ktorý je znázornený na obrázku "Nástroje v Poincaré disku", si môžete vyskúšať Tu. Súbor - applet vám odporúčame si stiahnuť.

Poznámky.

• Pri vytváraní ďalších nástrojov sme postupovali analogicky ako pri hPriamke.
• Pre nástroje rôznych kružníc sme využli konštrukcie uvedené v tvrdení "Priemet kružnice".
• Podklady pre nástroj "VzdialenostBodov" sme čerpali z prác [GRE, 1994], [HYP], [KOB, 2024] .

Základné "hyperbolické" konštrukcie v Poincaré Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2 \lt 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$ chápeme ako transformáciu euklidovských konštrukcií. V podstate ide takmer rovnaké konštrukčné kroky aké používal Euklides. Pri ich úloh používame applet "Nástroje v Poincaré disku" vytvorený v prostredí GeoGebra. Pomocou sme riešili rôzne úlohy, ktorých konštrukcia je uvedené v Základoch. 

Didaktický komentár:
Práca s vlastnými nástrojmi v GeoGebre posúva študentov z úlohy „vykonaj konštrukciu“ do úrovne „navrhni si vlastný nástroj na riešenie úloh“. Tento krok je zásadný v učiteľskej príprave: učia sa myslieť ako tvorcovia, nie len ako používatelia softvéru. V kontexte hyperbolickej geometrie zároveň získavajú skúsenosť s tým, že všetko závisí od definície – aj „priama“ priamka môže byť oblúk, ak sa zmení metrika priestoru.

Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2 \lt; 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$.

Riešené úlohy z neeuklidovskej geometrie.

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABC$ pomocou hyperbolických kružníc $\small k_1=(A,AB), k_2=(B,AB)$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I). Riešenie Tu.
2. Zostrojte rovnoramenný trojuholník $\small ABC$ so základňou $\small AB$ pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AB, AC$ a k hPriamkam $\small AB, BC$ určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
3. Zostrojte hyperbolickú priamku $\mu \subset \omega$, ktorá je osou úsečky $\small \alpha =AB$, kde $\small A,B \in \omega$. Riešenie Tu.
4. Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.

Návrhy na samostatnú prácu

1. Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholníky $\small ABC, ABC'$, kde $\small C'$ je súmerný bod podľa priamky $\small AB$.
2. V trojuholníku $\small ABC$ zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi $\small C,C'$.
3. Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
4. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá neprechádza bodom $\small P \notin \alpha$.
   Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
5. Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka $\small ABC$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).

Poznámky.

1. Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
2. Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka $\small ABC$ je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice $k$ a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
3. Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.

Geometria trojuholníka – základ a zrkadlo celej geometrie.

Trojuholník patrí medzi najstaršie a najpreskúmanejšie útvary v celej geometrii. Hoci je tvorený len troma bodmi a troma stranami, predstavuje mikrosvet geometrických vzťahov, v ktorom sa odrážajú najdôležitejšie zákonitosti planimetrie. Od Euklida po moderné dynamické systémy je trojuholník stále v centre pozornosti – ako nástroj, model aj symbol porozumenia priestoru.

📐 Najstarší geometrický útvar
Trojuholník je známy z architektúry a meracích techník už v egyptských papyrusoch (Rhindov papyrus, cca 1650 p. n. l.). Gréci považovali trojuholník za najjednoduchší polygón, ktorý je ešte stále určiteľný tromi údajmi – práve preto bol stredobodom dôkazov, definícií a vetných systémov. Pytagoras a jeho škola vnímali pravouhlý trojuholník ako základ harmonickej štruktúry vesmíru – podľa pomerov strán sa formovala hudba, architektúra aj kozmos.

V tejto kapitole sa sústredíme na tri roviny pohľadu:

1. Kategorizácia trojuholníkov podľa strán a uhlov – ako nástroj klasifikácie tvarov.
2. Vybrané vety – ktoré definujú vzťahy medzi stranami a uhlami.
3. Konštrukcie a experimentovanie – ktoré umožňujú v GeoGebre overovať hypotézy, hľadať protiargumenty a porozumieť vnútornej logike geometrie.

Moderný učiteľ matematiky potrebuje viac než len poznať vlastnosti trojuholníka – potrebuje ich vizualizovať, animovať, zovšeobecniť a predovšetkým premeniť na živý obsah, ktorý vedie žiakov k porozumeniu.
Preto budeme kombinovať deduktívny prístup s dynamickými nástrojmi, ako je GeoGebra, a všetky klasické vety (o výškach, ťažiskách, osiach, stranách a uhloch) zasadíme do interaktívneho rámca, ktorý je vhodný aj pre online výučbu v systéme Moodle. Použitím dynamických nástrojov ako GeoGebra budeme môcť nielen pozorovať a skúmať tieto vlastnosti, ale aj experimentovať, vytvárať hypotézy a overovať ich platnosť. To všetko v prostredí, ktoré podporuje aktívne učenie a rozvoj deduktívneho myslenia.
Táto kapitola teda nie je len o trojuholníkoch – je o geometrickom myslení, ktoré je základom nielen matematiky, ale aj architektúry, techniky a vizuálneho vnímania sveta.

Definícia (trojuholník v Hibertovom axiomatickom systéme).
Nech $\small A , B, C$ sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom $\small ABC$ rozumieme prienik polrovín$\small \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}$.
$\small \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}$

Základné pojmy.

1. Body $\small A, B, C$ sú jeho vrcholy.
2. Jednotlivé úsečky $\small AB,BC,AC$ sú strany $\small \triangle ABC$.
3. Vrcholy a strany tvoria spolu hranicu trojuholníka $\small \triangle ABC$.
4. Body, ktoré sú zároveň vnútornými bodmi polrovín $\small \overrightarrow {ABC}, \overrightarrow {BCA},\overrightarrow {CAB}$ sú vnútorné body alebo vnútro $\small \triangle ABC$.
5. Body, ktoré neležia ani na hranici ani vnútri $\small \triangle ABC$, sú vonkajšie body alebo vonkajšok $\small \triangle ABC$.

Poznámky.

1. Množinové poňatie pojmu trojuholník je vhodné pre SŠ
   Trojuholník $\small ABC$ je množina všetkých bodov, ktoré súčasne ležia v polrovinách $\small \vec{ABC} , \vec{BCA},\vec{CAB}$, pričom body $\small A,B,C$ sú nekolineárne.
2. Pojem trojuholníka vhodný pre 2. stupeň ZŠ
   Nech $\small A, B, C$ sú tri nekolineárne body. Trojuholník $\small ABC$ je časť roviny ohraničená úsečkami $\small ABC$.

Trojuholníky v školskej matematike kategorizujeme podľa:

1. dĺžky jeho strán
2. veľkosti najväčšieho vnútorného uhla.

Podľa veľkosti strán delíme trojuholníky na tri disjunktné skupiny:

1. Rovnostranný trojuholník - všetky jeho strany sú navzájom zhodné. 
2. Rovnoramenný trojuholník - práve (len) dve strany sú navzájom zhodné.
3. Rôznostranný trojuholník - všetky ostatné trojuholníky.

Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla 

1. Ostrouhlý trojuholník – má všetky tri vnútorné uhly ostré.
2. Pravouhlý trojuholník – práve jeden vnútorný uhol je pravý. 
3. Tupouhlý trojuholník – práve jeden vnútorný je tupý uhol.

Úloha - vhodná pre rôzne stupne vzdelávania. Prevzaté z práce [LAR]; Príklad 8.1.16. (Pozrite si originál zadania Tu).
Nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8.

Riešenie.

1. V prostredí GeoGebra v trojuholníku vieme pomocou posuvníka interaktívne meniť dĺžku strany trojuholníka $\small ABC$. V nejakom pevne zvolenom trojuholníku ľahko zostrojíme bod $\small D$, ktorý je od bodov $\small A, B$ vzdialený o požadované dĺžky strán. Potom modelujeme/meníme veľkosť strany trojuholníka $\small ABC$ a pozorujeme vzdialenosť trojuholníka $\small CD$. Táto konštrukcia je vhodná pre základné školy.
   
   Applet otvoríte Tu.
2. Konštrukčné riešenie vhodné pre žiakov 2. stupňa ZŠ aj pre gymnáziá.
   
   Applet otvoríte Tu.
3. Algebraické riešenie pomocou kosínusovej vety vhodné pre stredné školy
   $\alpha= cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right)$
   $\beta= cos^{-1}\left( \frac{1}{112} \; \left(x - 113 \right) \right)$
   $x - 64 - 25 = -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos^{-1} \left( 2 \; \pi - cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right) - cos^{-1} \left( \frac{x - 113}{112} \right) \right)$ Applet Tu

Za základné vety o trojuholníku sú vo všeobecnosti považované:

1. Veta o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.
2. Trojuholníková nerovnosť.

Dôkazy týchto viet nájdete v kapitole "Vety a konštrukcie trojuholníka".
V súčasnosti, keď dochádza k explózii DGS, nájdeme veľmi veľa appletov, ktoré interpretujú vetu o súčte vnútorných uhlov. Aktivujte si dva, v ktorých:

Euklidov dôkaz - applet Tu.
O trojuholníku je známych mnoho tvrdení, ktoré popisujú vzťahy medzi základnými prvkami trojuholníka. Uvedieme dve z nich bez odpovedajúcich dôkazov. Dôkazy sú dostupné v práci [KOB, 2024].

Cevova veta.
V trojuholníku $\small ABC$ sa priamky $\small {AK},{BK},{CK}$, kde $\small K$ je vnútorným bodom trojuholníka $\small ABC$ a $\small D,E,F$ sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
$\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$

Poznámky.
Aplikovaním Cévovej vety sa dajú dokázať napríklad vlastnosti:

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku.
2. Výšky sa pretínajú v jednom bode - ortocentre. 

Morleyho veta.
Ak v trojuholníku $\small ABC$ zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka $\small KLM$.

Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.

Trojuholník ako elementárna figúra ponúka široký didaktický potenciál. Umožňuje prepojiť do jedného celku axiomatickú teóriu, konštrukcie, zovšeobecnenia i algebraické aplikácie (napr. kosínusová veta). Kombinácia Euklidovho prístupu a GeoGebry podporuje tvorivosť a analytické myslenie žiakov aj budúcich učiteľov.

Kapitola spája klasické geometrické princípy s modernými didaktickými prostriedkami. Cieľom nie je len ovládať vety a konštrukcie, ale porozumieť ich významu a schopnosť uplatniť ich tvorivo v rôznych kontextoch: analytických, konštrukčných i pedagogických.

Trojuholník nie je len útvar s tromi vrcholmi – je to dynamická rovnováha medzi vzdialenosťou, smerom a symetriou.
V tejto kapitole sa zameriame na dve výnimočné vlastnosti trojuholníka: ťažisko a ortocentrum. Ich existencia, poloha a konštrukcia nás vedú k objavovaniu hlbokých súvislostí medzi stredmi strán, výškami, priesečníkmi a rovnoľahlosťou.
V spojení s GeoGebrou môžu študenti experimentálne hľadať vzory, formovať hypotézy a sami sa presvedčiť o platnosti tvrdení, ktoré raz fascinovali aj Alberta Einsteina.

Definícia (Ťažnica trojuholníka).
Nech je daný trojuholník $\small ABC$ a nech $\small A_1$ je stred strany $\small BC$. Úsečka $\small AA_1$ sa nazýva ťažnica trojuholníka $\small ABC$.

O ťažniciach trojuholníka sú známe nasledujúce dve tvrdenia:

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode $\small T$. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka.
2. Každá ťažnica je ťažiskom rozdelená na dve časti v pomere $2 : 1$.

Poznámky.

1. Tieto tvrdenia sa na ZŠ nedokazujú ale pomocou dynamického experimentu v prostredí GeoGebra sa žiaci presvedčia o ich platnosti. Žiakom na úrovni gymnázií sa dôkaz prezentuje najčastejšie pomocou rovnoľahlosti $\small H=(T, \kappa= -1/2)$.
2. Budúci učitelia matematiky sa zoznamujú s viacerými konštruktívnymi dôkazmi, napr. aplikáciou Cevovej vety, pomocou osovej afinity transformujú trojuholník na rovnostranný.

Pre účely tejto publikácie sme zvolili dynamickú interpretáciu, ktorá bola publikovaná v práci Lukáč, S.: Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov.

Experiment.
Trojuholník $\small ABC$ rozdelíme na úzke pásiky, ktoré budú rovnobežné so stranou $\small AB$. To je možné ľahko vytvoriť pomocou softvéru GeoGebra.

1. Z fyziky žiaci vedia, že ťažisko každého "pásika" leží v jeho "strede".
2. Pri posúvaní "pásika" $\small PQ$ pomocou interaktívneho bodu $\small L$ sa bude zaznamenávať stopa jej stredu $\small T_p$. Applet si otvoríte Tu.

3. Stopa bodu $\small T_p$ je zrejme úsečka $\small C_1C$, pričom $\small C_1$ je stred strany $\small AB$ a teda $\small C_1C$ je ťažnica.
4. Na upevnenie pojmov ťažnica a ťažisko učiteľ formuluje otázky typu:
• Ťažnica obsahuje len vnútorné body trojuholníka?
• Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník ?

Na záver experimentu učiteľ vysloví tvrdenie o ťažniciach a ťažisku. Pripomíname, že takýto prístup podporuje fyzikálno-geometrickú intuíciu a je obzvlášť účinný u žiakov, ktorí majú slabšie formálne deduktívne myslenie. Je skvelým mostom medzi dynamikou a dôkazom.

Veta.
Ťažnice trojuholníka sa pretínajú v jedinom bode T, ktoré nazývame ťažisko.

Konštrukčný dôkaz (Doplňanie do rovnobežníka).

1. Zostrojíme rovnobežky s dvoma ťažnicami v bodoch $\small B,C$. Existenciu zaručuje V. Euklidov postulát.
2. V rovnobežníku uhlopriečky $\small BC, TD$ sa navzájom rozpoľujú.
3. V trojuholníku $\small ABD$ je $\small C_1T$ stredná priečka trojuholníka, odkiaľ dostávame $\small T$ je stred $\small AD$. Analogicky $\small B_1T$ je stredná priečka.
4. Teraz stačí dokázať, že priesečník $\small E=BC, TD$ je stred strany.

Definícia (Výška trojuholníka).
Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka.

1. Výšky sa pretínajú v jednom bode $\small V$.
2. Tento bod sa nazýva priesečník výšok alebo ortocentrum.
3. Výška môže ležať vo vnútri, na strane alebo mimo trojuholníka v závislosti od jeho typu (ostrý, pravý, tupý).
   

Albert Einstein (Obrázok je prevzatý z Wikipédie)

"Keď som mal dvanásť rokov, zažil som zázrak iného druhu vďaka knižočke o Euklidovej geometrii roviny, ktorá sa mi dostala na začiatku školského roku do rúk.

1. Boli to poučky, ako napríklad, že tri výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
2. Hoci to nie je v nijakom prípade evidentné, predsa sa to dalo dokázať s takou istotou, že pochybnosť sa zdala byť vylúčená.
3. Táto jasnosť a istota spravili na mňa neopísateľný dojem."

Veta (Ortocentrum trojuholníka).
Výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz, ktorý nadchol Einsteina.

Pytagorova veta je možno najznámejšou vetou v celej matematike. Je jednoduchá, krásna a univerzálna.
No málokto vie, že jej pôvod je omnoho hlbší – siaha do Egypta, Číny, Indie a vrcholí v Euklidových Základoch ako monument dôkazového myslenia.
V tejto kapitole ukážeme nielen klasickú formu Pytagorovej vety, ale aj jej obrátenú formu, Euklidove dodatky a viaceré dôkazy, ktoré si môžete vizuálne overiť v GeoGebre.

Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku $\small ABC$, v ktorom prepona má veľkosť $c$ a odvesny majú veľkosti $a,b$ platí $\color\green{c^2}=\color\navy{a^2}+\color\red {b^2}$.

Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.

1. Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
2. Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
3. Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu. 
4. Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.

Poznámky.

1. Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
2. Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
   • na špagáte uviazali rovnomerne 12 uzlov,
   • prvý a posledný uzol upevnili na tom istom mieste - $\small A$ a štvrtý na mieste $\small C$ a siedmy na $\small B$,
   • vznikol pravý uhol $\small ABC$.

Tento kontext vytvára prepojenie medzi školskou matematikou a jej kultúrno-technickým pôvodom.

Veta (Obrátená pytagorova veta).
Ak v trojuholníku $\small ABC$ platí pre dĺžky strán $c^2=a^2+b^2$, tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou $c$.

Pytagorova veta uvedená v Euklidových Základoch: Kniha 1, tvrdenie XLVII).

Veta (Pytagorova veta - znenie uvedené v Základoch).
V pravouhlých trojuholníkoch štvorec na strane oproti pravému uhlu ležiaci je rovný súčtu štvorcov na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol.

Dôkaz (Grafická verzia).

Interaktívny applet je dostupný Tu.

Veta (Euklidova veta o výške).
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony.

Dôkaz.
Je dôsledkom Pytagorovej vety a využitím podobnosti trojuholníkov. Interpretáciu tejto vety, vhodnú pre žiakov ZŠ, prezentuje applet "Euklidova veta o výške"

Dôkaz Euklidovej vety o výške, ktorý využíva zhodnosť nájdete Tu. Jeho autorom je Martin Vinkler. Ďalšiu vetu uvádzame bez dôkazov. V prípade záujmu, čitateľovi odporúčame už spomínanú prácu Kobza, V.: Interaktívna geometria.

Veta (Euklidova veta o odvesne).
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.

Keď sa povie „zhodné trojuholníky“, predstavíme si dva tvary, ktoré do seba presne zapadnú. Keď sa povie „podobné“, predstavíme si dva rovnaké tvary v rôznych mierkach. Oba tieto pojmy sú však v geometrii oveľa viac než len slovné porovnania: predstavujú formálnu štruktúru overiteľnosti a dôkazov.
Táto kapitola sa venuje presnému výkladu zhodnosti a podobnosti v kontexte trojuholníkov, čo sú najjednoduchšie, ale zároveň najbohatšie rovinné útvary. Cieľom nie je len zvládnuť jednotlivé kritériá (sus, sss, ...), ale aj pochopiť ich axiomatický význam, konštrukčné dôsledky a didaktický potenciál.
V prostredí GeoGebry si overíme, ako sa „rovnakosť“ dá chápať rôznymi spôsobmi: niekedy ako presná kópia, inokedy ako rovnaký tvar so zmenenou mierkou. Tieto pojmy zároveň tvoria most k rozšíreným oblastiam matematiky – od zobrazení po transformácie, od afinných modelov po projektívne sústavy.

Pojmy zhodnosť a podobnosť v kontexte geometrie V bežnom jazyku používame slová „zhodné“ a „podobné“ ako voľné označenia vecí, ktoré sú si buď úplne rovnaké, alebo aspoň pripomínajúce sa. V geometrii majú však tieto pojmy presne definovaný význam, ktorý vychádza z axiomatiky rovinných útvarov a dá sa formálne overiť konštrukciou alebo dôkazom.

1. Zhodnosť (kongruencia) označuje geometrickú rovnosť tvaru aj veľkosti. Dva zhodné útvary sa dajú pomocou presunu, otočenia alebo zrkadlenia vzájomne prekryť (resp. môžeme ich pomocou pohybu preniesť jeden na druhý) – sú navzájom úplne identické. V prípade trojuholníkov hovoríme o zhodnosti vtedy, keď existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden trojuholník prenesie na druhý bez zmeny jeho rozmerov.
2. Podobnosť vyjadruje rovnosť tvaru, ale nie nevyhnutne veľkosti. Dva podobné trojuholníky majú rovnaké uhly a ich strany sú v rovnakom pomere. V matematike je tento pojem spojený s pojmami ako rozťažnosť, merítko, proporcionalita a má úzke prepojenie s afinnými zobrazeniami.

V modernom vyučovaní je veľmi dôležité, aby žiaci nielen poznali definície, ale dokázali rozoznať zhodné a podobné útvary vizuálne, konštrukčne aj analyticky. Digitálne nástroje ako GeoGebra umožňujú overovať hypotézy, interaktívne skúmať zmeny tvaru a viesť žiakov k hlbšiemu porozumeniu geometrických súvislostí.

Porovnávacia tabuľka prevzatá z UnAcademy

	Zhodný	Podobný
Význam	Vzťahuje sa na postavy alebo čokoľvek iné, čo má rovnakú veľkosť a tvar a môže sa navzájom prekrývať.	Používa sa na opis postáv alebo iných objektov, ktoré majú podobnú veľkosť a tvar, ale nie sú identické z hľadiska rozmerov.
Presnosť	Geometricky "presné" a prekrývajúce sa útvary/obrazce sú známe ako zhodné útvary.	Slangová fráza pre identické postavy, ktoré majú veľa spoločného, pokiaľ ide o tvar ale nie veľkosť.
Orientácia	Dokonca aj keď sú umiestnené v opačných orientáciách, zhodné postavy sa navzájom prekrývajú.	Aj keď sú usporiadané v rovnakom smere, podobné objekty sa navzájom neprekrývajú.

Definícia.

1. Dva trojuholníky $\small \triangle ABC,\triangle A'B'C'$ sú zhodné, ak sa zhodujú vo všetkých odpovedajúcich stranách a vo všetkých odpovedajúcich uhloch. Označujeme $\small \triangle ABC \simeq \triangle A'B'C'$.
2. Dva trojuholníky $\small \triangle ABC,\triangle A'B'C'$ sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné. Označujeme $\small \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

Do portfólia základného geometrického vzdelania zaraďujeme "Kritériá zhodnosti trojuholníkov". Kritériá predstavujú formálne podmienky, pri ktorých môžeme s istotou povedať, že dva trojuholníky sú zhodné. Uvádzame ich vo forme matematických viet, ktoré majú zaužívané označenia typu (sus).

Vety (O zhodnosti trojuholníkoch).

1. (sus) Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle nimi zovretom sú zhodné.
2. (sss) Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v troch stranách sú zhodné.
3. (usu) Ak sa dva trojuholníky zhodujú v jednej strane a v dvoch uhloch priľahlých, tak sú zhodné.
4. (Ssu) Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej strane, tak sú zhodné.

Dôkazy týchto viet sú uvedené napríklad v Euklidových Základoch, pozrite si prácu [SER, 1903]. Pre študentov pripravujúcich sa na povolanie stredoškolského učiteľa matematiky je veľmi prínosné naštudovanie týchto dôkazov v originálnom znení v rámci samoštúdia. Následná úprava Euklidových dôkazov v jazyku modernej terminológie, ktoré sú obohatené GeoGebra appletmi, zvyšuje atraktívnosť Euklidových Základov aj pre súčasného čitateľa. Uvedieme takúto úpravu pre prvú vetu, ktorá v Základoch je sformulovaná ako Proposition 4 (Euclid's Elements, Book I ).

Euklidov dôkaz vety (sus) - preklad originálu zo Základov.

1. Nech $\small ABC, DEF$ sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany $\small AB, AC$ rovné dvom stranám $\small DE, DF$. Konkrétne $\small AB$ rovná $\small DE$ a $\small AC$ rovná $\small DF$ a uhol $\small BAC$ je rovný uhlu $\small EDF$.
2. Hovorím (Euklides), že základňa $\small BC$ sa rovná aj základni $\small EF$, trojuholník $\small ABC$ sa rovná trojuholníku $\small DEF$ a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$. 
Nepriamy dôkaz
1. Nech trojuholník $\small ABC$ je uložený na trojuholníku $\small DEF$ a ak je bod $\small A$ umiestnený na bode $\small D$ a priamka $\small AB$ na $\small DE$. 
• Potom bod $\small B$ sa zhoduje s bodom $\small E$, pretože $\small AB$ sa rovná $\small DE$. 
2. Priamka $\small AC$ sa tiež rovná $\small DF$, pretože uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.  
• Preto sa bod $\small C$ zhoduje s bodom $\small F$, teda $\small AC$ sa rovná $\small DF$. 
3. Ale $\small B$ sa tiež zhoduje s $\small E$, a preto základňa $\small BC$ sa zhoduje so základňou $\small EF$ a rovná sa jej. 
• V opačnom prípade by bodmi $\small E$, $\small F$ boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
4. Takže celý trojuholník $\small ABC$ sa zhoduje s celým trojuholníkom $\small DEF$ a rovná sa. 
5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$ .
3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.
   
   Ilustračný applet k dôkazu vety (sus) si otvoríte Tu.

V trojuholníkoch $\small ASC, BSC$ odpovedajúce strany majú rovnakú dĺžku. Zároveň platí, že stred $\small S$ rozpoľuje základňu $\small AB$ a $\small v_c=CS$ je spoločná strana pre obidva trojuholníky $\small BSC$.

Definícia.
Dva trojuholníky $\small △ABC, △A_1B_1C_1$ sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné.

Príklad 3 (Využitie podobnosti trojuholníkov).
Zostrojte trojuholník $\small ABC$ , ak sú dané jeho výšky $v_a,v_b,v_c$

Rozbor.

1. Pre vzťahy medzi výškami trojuholníka a jeho stranami platí: $\small 2 . S = a .v_a = b . v_b = c . v_c$ a teda $a : b : c = \frac{1}{v_a} : \frac{1}{v_b} : \frac{1}{v_c}$.
2. Ak položíme $a´=  \frac{1}{v_a},  b´ = \frac{1}{v_b} ,  c´= \frac{1}{v_c}$, tak  trojuholník $\small A´B´C´$ so stranami $a´,b´,c´$  je podobný trojuholníku $\small ABC$, lebo pomer odpovedajúcich strán je konštantný.

Zostrojme trojuholník $\small KLM$ so stranami $v_a,v_b,v_c$ .

1. V trojuholníku $\small KLM$ označme jeho výšky $a´,b´,c´$.
2. Potom zostrojíme trojuholník $\small A´B´C´$ so stranami $a´, b´, c´$.
3. Nakoniec zostrojíme trojuholník $\small ABC$ podobný trojuholníku $\small A´B´C´$ pomocou rovnoľahlosti vzhľadom na vhodný stred a koeficient.

.

Diskusia. Úloha má práve jedno riešenie, ak výšky spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.

Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.

Didaktické poznámky
Zhodnosť umožňuje študentom pracovať s presnou rovnosťou, čo rozvíja dôkazové myslenie.
Podobnosť prirodzene vedie k proporciám a podobnostnej transformácii, čo je dôležité pre analytickú geometriu, mapovanie a reálnu interpretáciu mierky.
GeoGebra je výborným nástrojom na overovanie, pretože umožňuje zmeniť len jeden prvok a okamžite pozorovať dôsledky.

Zhodnosť a podobnosť sú skvelé príležitosti na rozvoj:

1. analytického myslenia (overenie podmienok),
2. kreativity (konštrukcie podľa rôznych kritérií),
3. reflexie (porovnanie vlastností, úvah o „rovnakosti“).

Digitálne nástroje umožňujú žiakom nielen sledovať, ale tvoriť zhodné a podobné útvary, čím sa učia objavovať geometrické pravdy vlastnou skúsenosťou.

Zhrnutie
Zhodnosť a podobnosť sú nielen súčasťou učiva, ale aj základným geometrickým aparátom, ktorý umožňuje stavbu, porovnávanie a klasifikáciu tvarov. Ich pochopenie je kľúčom k dôkazom, konštrukciám a ďalšiemu štúdiu zobrazení.

Kružnica je jedným z najstarších geometrických útvarov známych ľudstvu. Od egyptských kruhových záhonov po kolesá babylonských vozov, jej tvar sprevádza civilizáciu tisícročia. V modernej geometrii sa kružnica stáva miestom presného definovania vzdialenosti a symetrie.

🕰️ Historický rámec
Kružnica ako geometrický objekt sa objavuje už v mezopotámskych textoch zo 17. storočia pred n. l., kde bola základom pre delenie roka na 360 dní. V Euklidových Základoch (Kniha III) je kružnica definovaná čisto pomocou vzdialenosti od stredu – bez úvah o ploche kruhu. V starovekom Grécku bola kružnica považovaná za „dokonalý útvar“, pretože má najvyššiu symetriu spomedzi všetkých rovinných útvarov.

Táto kapitola nadväzuje na Euklidovu definíciu kruhu a rozvíja ju pomocou Hilbertových axióm, pričom ponúka nový pohľad na polohové a metrické vzťahy v interakcii priamky a kružnice – tentokrát aj s podporou nástrojov ako GeoGebra.
Tretia "Kniha" v Euklidových Základoch sa zaoberá vlastnosťami kruhov. Euklides definuje kruh ako rovinný útvar ohraničený jednou zakrivenou čiarou s vlastnosťou, že všetky úsečky vedené od pevného bodu po ohraničujúcu čiaru sú zhodné. Ohraničujúca čiara sa nazýva kružnica a jej pevný bod sa nazýva stred. Táto definícia využíva intuitívne pojmy ako sú: zakrivená a ohraničujúca čiara.
Významný pokrok pri skúmaní závislosti medzi obvodom kruhu a jeho obsahom dosiahol grécky mysliteľ Archimedes, ktorý dokázal aproximovať Ludolfovo číslo $\pi$ na niekoľko desatinných  miest. Jeho štúdie sú predchodcom integrálneho počtu.
V Hilbertovom axiomatickom systéme, kde sú k dispozícii: primitívny pojem "medzi", axiómy usporiadania a axiómy zhodnosti, môžeme uviesť matematicky korektnejšiu definíciu. 

Definícia.
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu $S$ vzdialenosť rovnú kladnému reálnemu číslu $r$ sa nazýva kružnica so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Symbolicky Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu $\small S$ vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu $r$ sa nazýva kruh so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Symbolicky

Bod $\small S$ nazývame stred kružnice resp. stred kruhu a číslo $r> 0$ polomer kružnice resp. kruhu.
Ľubovoľné dva body $\small A,B$ kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery $\small SA,SB$ rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva $\small AB$ rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.

Definície.
Dané dve kružnice $k_1(S_1;r_1), k_2 (S_2;r_2)$ s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka) $\small S_1S_2)$ ) sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.

Ak pre dve kružnice platí: $\small r_1 - r_2$, tak kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch $\small A,B)$.

Ak pre dve kružnice platí: $0 < |S_1S_2| < r_1 - r_2$, tak jedna kružnica leží vo vnútri druhej.

V applete zmeňte polohu bodu $\small S_2$, otvorte applet Tu.

Ak majú kružnice len jeden spoločný bod $\small k_1 ∩ k_2 = T$, tak hovoríme, že kružnice sa dotýkajú.

1. Kružnice majú vonkajší dotyk , ak platí: $\small | S_1S_2| = r_1 + r_2$.
2. Kružnice majú vnútorný dotyk, ak platí: $\small | S_1S_2| = r_1 - r_2$.

Keď sa povie „veta o obvodových uhloch“, mnohým sa vybaví školská fráza: „obvodový uhol je polovicou stredového.“ No táto veta je v skutočnosti bránou do sveta kruhových geometrických závislostí.

📜 Z dejín geometrie
Veta o obvodových uhloch je známa už od čias Thaleta (6. stor. pred n. l.), ktorý objavil, že uhol opísaný nad polomerom kružnice je pravý. Euklides túto vetu uvádza vo svojej tretej knihe Základov (Propozície 20 a 21). Arabskí astronómovia 10. storočia (Al-Battani, Al-Kashi) používali túto vetu na výpočty uhlov v sférickej astronómii.

Vďaka kombinácii dôkazu a experimentovania so softvérom GeoGebra je možné viesť žiakov k formulovaniu hypotéz a ich overovaniu. Dôkaz v duchu Euklida ukazuje, ako sa matematické deduktívne myslenie rozvíjalo z intuitívnych pozorovaní. Nech je daná kružnica $\small k=( S, \normalsize r)$ a tri rôzne body $\small A, B, C \in \normalsize k$. Budeme skúmať v akom metrickom vzťahu je stredový uhol $\omega=\small ∡ASB$ k obvodovému uhlu $\alpha=\small ∡ACB$. Obidva uhly prislúchajú k oblúku $\delta=\small \widehat{AB}$. Pozrite obrázok "Stredový a obvodový uhol". Je zrejmé, že pevne zvolenému oblúku $\delta$ prislúcha jeden stredový uhol ∡ ASB a nekonečne veľa obvodových uhlov ∡ACB (C je ľubovoľný bod na kružnici okrem bodov na oblúku $\small \widehat{AB}$).

Obr. Stredový a obvodový uhol.

Pri hľadaní vzájomného vzťahu medzi obvodovým a stredovým uhlom využijeme GeoGebra applet z obrázka "Vzťah medzi stredovým a obvodovým uhlom", ktorý je dostupný na adrese https://www.geogebra.org/m/jscdukjc. Spolu so žiakmi v triede experimentujeme. Meníme polohu bodu $\small C$ a pre každú polohu (iteráciu) bodu (\small C \) určíme veľkosť obvodového uhla. Niekoľko nezávislých iterácií nám umožní formulovať hypotézu: Dokonca náš experiment ukazuje, že táto konštantná veľkosť je rovná polovici veľkosti odpovedajúceho stredového uhla. Hypotézu teraz sformulujeme ako matematickú vetu a pokúsime sa ju dokázať klasickou euklidovskou konštrukciou. Predpokladajme na chvíľu, že vetu máme už dokázanú. V takom prípade sa nám "ponúka" myšlienka "Ako zostrojiť oblúk kružnice, z ktorého "vidieť danú úsečku (\small A,B \) pod vopred daným uhlom". Táto konštrukcia je pomerne známe, uvádzame najčastejšie používanú konštrukciu vytvorenú v prostredí GeoGebra. Nami vytvorená konštrukcia je dostupná na adrese
https://www.geogebra.org/m/j7agbgqy.

Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.

Obr. Vzťah medzi stredovým a obvodovým uhlom. Otvorte motivačný applet Tu.

Dôkaz vety o ovbodových uhloch sa v rovinnej geomatrii realizuje v troch etapách. V tejto práci sa budeme opierať o Euklidove Základy a dôkaz rozdelíme na tri nezávislé prípady:

1. Stred $\small S$ kružnice $\small k=( S, \normalsize r)$ je vnútorný bod obvodového uhla $\small ∡ACB$.
2. Stred $\small S$ leží na niektorom ramene obvodového uhla $\small ∡ACB$.
3. Stred $\small S$ je vonkajší bod uhla.

Euklides pri dokazovaní tvdenia o obvodových uhloch využíva nám už dobre známe tvrdenia zo Základov

1. "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú." (Kniha 1, Tvrdenie V).
2. "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch." (Kniha 1, Tvrdenie XII).

Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:

Dôsledok.
Vonkajší uhol pri hlavnom vrchole rovnoramenného trojuholníka je rovný dvojnásobku veľkosti uhla pri jeho základni.

Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ je vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Podľa dôsledku veľkosť vonkajšieho uhla $\small \angle ASC_1$ trojuholníka $\small ASC$ pri vrchole $\small S$ je rovná dvojnásobku veľkosti uhla $\small \angle SCA$ pri základni rovnoramenného trojuholníka $\small ASC$. Podobne pre trojuholník $\small BSC$ platí $\small \angle BSC_1$=2.$\small \angle SCB$. Odtiaľ dostávame $\small \angle ASB$=2.$\small \angle ACB$.

Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ leží na ramene uhla $\small ∡ACB$. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je tiež polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Nech body $\small B, S, C$ sú kolineárne. Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.

Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Zrejme platí $\omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta$.  Pozrite si zaujímavý konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Každý prípad je vhodný na samostatné skupinové spracovanie – žiaci môžu porovnať dôkaz s dynamickým pozorovaním.

Ak body $\small A, B$ sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.

Definícia.
Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou $\small AB$ je kružnica $k$ s priemerom $\small AB$ okrem bodov $\small A, B$. Kružnicu $k$ nazývame Thálesova kružnica.

Mocnosť bodu ku kružnici je jedným z tých pojmov, ktoré si žiak spočiatku nevie celkom predstaviť – no práve v tom tkvie jej vzdelávací potenciál. Ide o syntézu geometrie a algebry, o prechod od pozorovania k vzorcu.

📐 Historické poznámky
Mocnosť bodu ku kružnici sa explicitne objavuje až v analytickej geometrii 17. storočia. Pojem sa však objavuje už skôr pri štúdiu radikálnej osi – množiny bodov s rovnakou mocnosťou ku dvom kružniciam. Descartes a Viète formulovali tieto vzťahy pomocou súradnicovej geometrie, no v syntetickej podobe ich nájdeme v 19. storočí u Jacoba Steinera. Mocnosť bodu sa dnes chápe ako invariančný geometrický koncept.

Pomocou vizualizácií v GeoGebre možno pozorovať, že súčin dĺžok sečnicových úsečiek je konštantný – a že táto konštanta je vlastnosťou bodu, nie konkrétnej sečnice. Tento objav možno vnímať ako predchodcu pojmov funkcie a invariančnosti. Je daná kružnica $\small k(S,r)$ so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Bod $\small M$ leží zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small M$ a $\small A,B$ sú priesečníky sečnice s kružnicou $k$ .

Skúmajme súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$. Po otvorení motivačného appletu "MOBOKEKR" od Martina Vinklera a experimentovaním s polohou bodu $\small M$, môžeme vysloviť hypotézu:

Otvorte si motivačný applet Tu.

Otázky.
Je súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$ nezávislý od polohy sečnice $\small p= \overleftrightarrow{AB}$? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov $\small A,B$?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice $\small k(S,r)$? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.

Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu $\small M$ roviny možno priradiť reálne číslo $m$ , pre ktorého absolútnu hodnotu platí $\small |m| = |MA| × |MB|$, pričom

1. $m > 0$ pre bod $\small M$ ležiaci mimo kružnice (vonkajší bod kružnice),
2. $m = 0$ pre bod $\small M$ ležiaci na kružnici (bod kružnice),
3. $m < 0$ pre bod $\small M$ ležiaci vnútri kružnice (vnútorný bod kružnice).
Číslo $m$ sa nazýva mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $k$.

Veta (Mocnosť bodu - konštanta).
Mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $\small k(S,r)$ nezávisí od polohy sečnice kružnice, ktorá prechádza bodom $\small M$ .

Dôkaz.

1. Uvažujme o trojuholníkoch $\small \triangle MCA, \triangle MBD$.
2. Obvodové uhly k oblúku $\small AC$ pri vrcholoch $\small B,D$ sú zhodné.
3. Uhol $\xi$ pri vrchole $\small M$ je spoločný pre obidva trojuholníky.
4. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné.
5. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{|MB|}{|MD|}=\frac{ |MC|}{|MA|}$.
6. Odtiaľ dostávame $\small |MA| × |MB| = |MC| × |MD|=$konštanta.
7. Tým je dôkaz ukončený.

Dokázať tento dôsledok je veľmi jednoduché. Stačí zvoliť sečnicu $\small CD$ tak, aby prechádzala stredom kružnice. V takom prípade bude

• $\small \left| MD\right|=\left| MS\right|+\left| SD\right|=v+r$  a
• $\small \left| MC\right|=\left| MS\right|-\left| SC\right|=v-r$.
Po vynásobení $(v+r)(v-r)=v^2-r^2$.

Poznámka.
V prípade, keď bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo $\small m = v^2 -r^2$ záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.

Veta Mocnosť bodu - hodnota).
Pre mocnosť bodu $\small M$, ktorý leží zvonka kružnice $\small k(S,r)$, platí rovnosť $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$. Bod $\small T$ je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom $\small M$.

Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo veta 1.

1. Vzťah $\small |m| = |MA| × |MB|$ platí pro ľubovoľnú sečnicu.
2. Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode $\small T$.
3. Bod $\small A$ i bod $\small B$ sa blížia k bodu $\small T$.
4. Veľkosť úsečky $\small MA$ sa blíži k veľkosti úsečky $\small MT$.
5. Z toho usudzujeme, že súčin $\small MA × MB$ sa blíži k súčinu $\small MT × MT = {MT}^2$.

Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov $\small \triangle MAT, \triangle MTB$, ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|}$.
Pri odvodení vzťahu $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$ môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník $\small MST$ je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.

Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.

Korektnosť definície a konštrukcia chordály.

1. Dané kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$ sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
2. Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť $m = 0$ k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
3. V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu $\small  k_3(S_3,r_3)$, ktorá pretína obe kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Zostrojme chordály $\small  chord(k_i,k_3)=\overleftrightarrow{A_iB_i}, \; i=1,2$. Ich priesečník označme $\small P$. Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Aktivujte si priložený applet.

Zobrazenie je predstava, že sa útvar pohybuje, mení, ale zároveň si zachováva svoju identitu. Môže sa posunúť, otočiť, zväčšiť, zrkadliť – a predsa zostáva tým istým útvarom v inom priestore. V tejto kapitole ukážeme, ako možno pomocou zobrazení vyjadriť zhodnosť, podobnosť, symetriu a aj nezhodné, ale systematické transformácie. Zobrazenia sú geometriou v pohybe. Sú mostom medzi abstraktnou matematikou a reálnym svetom: medzi myšlienkou a jej obrazom.

🔄 Od tieňa po transformáciu
Zobrazenia sa v geometrii objavujú už pri projekcii – tieňom, odrazom v zrkadle, otočením obrazca. V renesančnej geometrii sa používali na zachytenie perspektívy. V 19. storočí Felix Klein zaradil zobrazenia do stredu Erlenmeyerovho programu: každá geometria je určovaná svojimi zobrazeniami. Dnes sú zobrazenia kľúčom nielen k chápaniu geometrie, ale aj k animácii, fyzike, grafike a dynamickému modelovaniu.

Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine $\small \mathbb E_2$ rozumieme predpis $f$, ktorý ľubovoľnému bodu $\small X \in \mathbb E_2$ priradí najviac jeden bod $\small X' = f(X)$ .

V tejto kapitole sa budeme skúmať

1. zhodné a podobné zobrazenia,
2. osovú afinitu,
   
3. stredovú kolineáciu,
4. kruhovú inverziu.

Definícia.
Zobrazenie $\small f: \mathbb{E_2} \rightarrow \mathbb{E_2}$ nazývame zhodné zobrazenie v ( $\small \mathbb{E_2}$ ), ak pre každé dva rôzne body $\small X, Y ∈ \mathbb{E_2}$ platí
$\small X'Y' ≅ XY$,
kde $\small X' =f(X), Y' = f(Y )$. Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).

Rovinné geometrické útvary $\small U_1, U_2$ sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý. Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto: $\small U_1 \simeq U_2$ alebo takto $\small U_1 \cong U_2$.

V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to

• identitu,
• osovú súmernosť,
• stredovú súmernosť,
• otočenie (rotáciu),
• posunutie (transláciu),
• posunutú súmernosť.

🧭 Nie len pre matematiku
Keď pochopíš zobrazenie v geometrii, pochopíš aj grafiku v hrách, odrazy v zrkadle, mapy a aj to, prečo niektoré ilúzie klamú zrak.

Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.

Dôkaz tohto tvrdenia nájdete v práci [KOB, 2024]. Pri štúdiu zhodných zobrazení kľúčovú úlohu zohráva osová afinita. Pomocou skladania osových súmerností vieme charakterizovať ľubovoľné zhodné zobrazenie. Keďže platí jedno významné tvrdenie Tak stčí charakterizovať všetky možné kombinácie 2 a 3 osových súmerností.

Definícia (Osová súmernosť - symetria).
Nech $o$ je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small X$ ležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, ktorý je totožný s bodom $\small X$,
2. obrazom bodu $\small X$ neležiaceho na priamke $o$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že priamka $\small XX'$ je kolmá na priamku $o$ a stred úsečky $\small XX'$ leží na priamke $o$,
   nazývame osová súmernosť,
3. Priamku $o$ nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou $o$ budeme označovať symbolom $\sigma (o)$.

🌿 Zrkadlo v prírode
Symetria je zobrazenie. Motýľ, list stromu, vločka – všetky ukazujú, že geometria nie je len v učebnici, ale všade okolo.

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie (Vhodné pre školskú matematiku).
Je daná priamka $p$ a body $\small A, B$ ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou $p$. Určte bod $\small X ∈ p$ tak, aby súčet $\small |AX|+ |BX|$ bol čo najmenší.
Riešenie Tu.

Pri vytváraní zložených zhodných zobrazení má špecifické postavenie aj posunutie. Preto sme definíciu posunutia zaradili do hlavnej časti tejto kapitoly.

Definícia (Posunutie).
Daný je vektor $\vec{u}$. Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu $\small X$ je bod $\small X'$, pričom platí rovnosť vektorov $\small \vec{u}=\vec{XX'}$, sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor $\vec{u}$ nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor $\vec{u}$ budeme označovať $\tau_{\vec{u} }$.

Otvorte si applet Tu.

Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.
Určenie vektora posunutia, ak posunutie je dané dvomi osovými súmernosťami je prezentované appletom "Posunutie".

Otvorte si applet "Posunutie" Tu.

Typický príklad na posunutie vhodný pre gymnáziá..
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán $a, b$ a veľkosť $\phi$ uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.

Otvorte si riešenie Tu.

Definícia.
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou $o$ a vektorom $\vec{u}$ budeme označovať $\psi_{o;\vec{u}}$).

V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.

Tvrdenie
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.

Dôkaz
Nech sú dané osové súmernosti $\sigma (o_1), \sigma (o_2), \sigma (o_3)$ a nech $o_1 \neq o_2 \neq o_3 \neq o_1$ sú navzájom rôzne priamky. Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:

1. Všetky priamky sú navzájom rovnobežné → výsledné zložené zobrazenie je osová súmernosť.
2. Dve sú rovnobežné a tretia ich pretína → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť.
3. Priamky ležia na stranách trojuholníka (navzájom sú rôznobežné) → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť. Otvorte si applet Tu.

Cvičenie (Vhodné pre školskú matematiku).
Daný je pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$ a body $\small X, Y$ , pričom $\small (ABX) = (DEY ) = 2$. Nájdite zhodné zobrazenie, ktoré zobrazí trojuholník $\small AXS$ do trojuholníka $\small Y DF$. Bude to priama alebo nepriama zhodnosť?

Riešenie

🧱 Geometria ako jazyk priestoru
Rovnakosť nie je len náhoda. Je to pravidlo, ktoré sa opakuje – preto vieme stavať domy, lietať lietadlá a hrať šach.

Otvorte applet od autora Daniel Mentrard Tu.

Definícia.
Nech $\small S$ je daný bod. Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, pre ktorý platí, že bod $\small S$ je stredom úsečky $\small XX'$ nazývame stredová súmernosť ,
3. bod $\small S$ sa nazýva stred otáčania.

Otvorte si dynamickú prezentáciu Tu.

Definícia.
Nech je daný bod $\small S$, uhol $\alpha$ (veľkosť uhla je nanajvýš 360°) a orientácia kladná (proti smeru hodinových ručičiek) resp. záporná (v smeru hodinových ručičiek). Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, ktorý leží na kružnici $\small k(S;SX)$ a zároveň uhol $\small XSX'$ je zhodný s uhlom $\alpha$, pričom orientácia je kladná, resp. záporná, sa nazýva otočenie ,
3. Bod $\small S$ sa nazýva stred otočenia. Otočenie so stredom $\small S$ a uhlom $\alpha$ a kladnou resp. zápornou orientáciou budeme označovať $\rho_{S; -\alpha }$.

Otvorte si applet Tu.

Tvrdenia (Rozklad zhodností na osové súmernosti).

1. Identitu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú totožné. (Dôkaz prenechávame na čitateľa).
2. Každú stredovú súmernosť možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú na seba kolmé a prechádzajú stredom stredovej súmernosti.
3. Každú rotáciu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi prechádzajú stredom rotácie, zvierajú uhol, ktorého veľkosť sa rovná jednej polovici veľkosti uhla rotácie, pričom orientácia uhla rotácie je súhlasná s orientáciou uhla od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.

Otvorte konštrukčný dôkaz Tu.

Cvičenie (Stredová súmernosť).
Sú dané dve sústredné kružnice $k_1(O,r_1); k_2(O,r_2); r_1> r_2$ a bod $\small S$ vo vnútri $k_2$. Zostrojte obdĺžnik $\small ABCD$ tak, že $\small A,B \in k_1 ; C,D \in k_2$ a bod $\small S$ je jeho stredom. Riešenie Tu.

🎵 Matematika, ktorá sa hýbe
V zobrazeniach sa matematika hýbe ako tanec – niečo sa posunie, zmení, no zostane v poriadku. To je krása geometrie.

Vlastnosti zložených zhodných zobrazení

1. Zloženie ľubovoľného konečného počtu osových súmerností možno vždy redukovať na zloženie maximálne troch osových súmerností. Pozrite si konštrukčný dôkaz Tu resp. Tu.
   
2. Zložením ľubovoľného konečného počtu zhodných zobrazení je identita, alebo osová súmernosť, alebo stredová súmernosť, alebo rotácia, alebo translácia, alebo posunutá súmernosť.
3. Všetky zhodnosti v rovine tvoria vzhľadom na skladanie zobrazení grupu (tzv. grupa zhodností). Generátorom grupy zhodností je osová súmernosť.

Zhodnosti reprodukujúce štvorec tvoria podgrupu. Pozrite si dynamický model.

Otvorte Tu.

🔍 Rovnoľahlosť – keď sa svet zmenšuje alebo zväčšuje
Rovnoľahlosť je kľúčovým mostom medzi zhodnosťou a podobnosťou. Je to pohyb, pri ktorom sa nemení tvar, ale mierka. V prírode ju vidíme v tieni, v optike, ale aj v architektúre – modely a plány fungujú práve vďaka rovnoľahlosti. V tejto kapitole preskúmame, ako sa pomocou rovnoľahlosti transformujú trojuholníky a iné útvary do ich podobných obrazov.

Definícia (Podobné zobrazenie).
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky $\small AB$ je úsečka $\small A'B'$, ktorej veľkosť je $k$-násobkom veľkosti úsečky $\small AB$ ( $k > 0$ ).

V každom podobnom zobrazení platí:

• obrazom priamky $\small AB$ je priamka $\small A'B'$, obrazom rovnobežných priamok sú rovnobežné priamky,
• obrazom polpriamky $\small \overrightarrow{AB}$ je polpriamka $\small \overrightarrow{A'B'}$,
• obrazom opačných polpriamok sú opačné polpriamky,
• obrazom uhla $\small \angle AVB$ je uhol $\small \angle A'VB'$ zhodný s uhlom $\small \angle AVB$.

Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod $\small S$ a reálne číslo $\kappa, \kappa \neq 0$. Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie $\mathscr{H}(S, \kappa)$, ktoré priraďuje:

1. každému bodu $\small X ≠ S$ bod $\small X'$ tak, že $\small |SX'|= |\kappa|| SX|$, pre $\kappa >0$ leží $\small X'$ na polpriamke $\small \overrightarrow{SX}$, pre $\kappa$ na polpriamke k nej opačnej,
2. bodu $\small S$ bod $\small S≡S'$.

Otvorte si applet Tu.

Poznámka.
Rovnoľahlosť $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$ je podobnosť s koeficientom $|\kappa|$. Pre $\kappa=1$ je identitou, pre $\kappa=-1$ rotáciou okolo $\small S$ o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode $\small S$ ).
Pre $\kappa≠ 1$ je jediným samodružným bodom stred $\small S$. Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.

Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.

Vľavo. V rovnoľahlosti platí: $\small  AB\; || \;A'B'$. Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.

Veta (Rovnoľahlé útvary).
V rovnoľahlosti $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$: $\small X \rightarrow X'$

1. každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
2. každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
3. každé dve nezhodné kružnice $\small (O_1,r_1),(O_2,r_2)$ sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
4. spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným $\small S_2$ a vonkajším $\small S_1$ stredom rovnoľahlosti).

Otvorte si applet Tu.

Veta(Podobné zobrazenie).
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.

📏 Podobnosť v histórii
Už Euklides v Základoch (Kniha VI) systematicky využíva podobnosť trojuholníkov ako základ na odvodenie mnohých geometrických viet. Jeho definície podobnosti boli neskôr precizované pomocou rovnoľahlostí v období analytickej geometrie. Renesanční architekti ako Alberti využívali koncepty rovnoľahlosti pri perspektívnych zobrazeniach ešte pred ich formálnym pomenovaním.

Príklad (Využitie rovnoľahlosti).
Sú dané dva rôzne body $\small A,M$, ktorých vzdialenosť je $d$. Ďalej je dané kladné číslo $v$. Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$ s výškou $v$ tak ,aby bod $\small M$ bol stredom jeho strany $\small BC$.

Otvorte si rozbor úlohy Tu. Riešenie v práci [KRIZ], príklad 103.

📐 Afinné zobrazenia – geometria, ktorá rešpektuje „rovno“
Afinné zobrazenia uchovávajú rovinnosť, kolinearitu a pomer rozdelenia úsečky – a predsa dokážu „natiahnuť“ alebo „stlačiť“ útvar. V praktických aplikáciách (mapovanie, projekcia, deformácie) zohrávajú kľúčovú rolu. Preskúmame, ako sa líšia od zhodných zobrazení a ako tvoria základ afinného priestoru.

Geometrické zobrazenia $\small f$ v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ môžeme skúmať aj podľa počtu a druhu samodružných prvkov.

Definícia (Samodružné prvky).

1. Samodružný bod $\small X \in \mathbb E_2$ je bod, ktorý sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sám na seba. Platí: $\small X' = f(X)$.
2. Samodružná priamka $\small p \subset \mathbb E_2$ je priamka, ktorá sa pri zobrazení $\small f$ zobrazí sama na seba $\small p= f(p)$. Zároveň existuje bod $\small P \in p$, ktorý sa zobrazí do bodu $\small P' \neq P ; P' \in p$ .
3. Priamka samodružných bodov je priamka, kde každý jej bod je samodružný. Pre každý bod na priamke platí X = X'. Hovoríme o bodovo samodružnej priamke.

Zvoľme si v euklidovskej rovine $\small \mathbb E_2$ dve rôznobežné priamky $\small o=PQ, s=AA'$. Pozrite si obrázok Afinita. Budeme skúmať geometrické zobrazenie $\small OA$ s vlastnosťami

1. Obrazom ľubovoľného bodu $\small X \in o=PQ$ je ten istý bod $\small X$, priamka $\small o=PQ$ je bodovo samodružná..
2. Obrazom ľubovoľného bodu $\small B \in \mathbb E_2$ je bod $\small B' \in \mathbb E_2$, ktorý leží na priamke $\small s^B=BB' \parallel s=AA'$.
3. Obrazom priamky $\small m=AB$ je priamka $\small m'=A'B'$, pričom bod $\small 1=m \cap m'$ je samodružný. V prípade rovnobežnosti $\small m \parallel o$ je tiež $\small m' \parallel o$ (bod 1 je nevlastný).
4. Obrazom priamky rovnobežnej s priamkou $\small s=AA'$ je tá istá priamka, priamka je samodružná.
5. Takéto zobrazenie je zrejme bijektívne zobrazenie euklidovskej roviny. Budeme ho nazývať osová afinita v rovine.

Vlastnosti.

• osová afinita je jednoznačne určená priamkou $\small o=PQ$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$,
• priamku $\small o=PQ$ nazývame os afinity a priamku $\small s=AA'$ nazývame smer afinity,
• osová afinita zachováva incidenciu, rovnobežnosť a deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Dôkaz je založený na vlastnosti podobných trojuholníkov. Pozrite si prácu [PLICH].
  

Osovú afinitu môžeme využiť aj pri dôkazoch niektorých vlastností všeobecných trojuholníkov. Stačí ak dokážeme určiť osovú afinitu, v ktorej sa daný všeobecný trojuholník zobrazí na rovnostraný trojuholník. Keďže osová afinita zachováva incidenciu a deliaci pomer (špeciálne stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky), tak napríklad vlastnosť ťažníc stačí dokázať len pre rovnostranný trojuholník.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.

Cvičenie.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník $\small ABC$ zobrazil do rovnostranného trojuholníka $\small A'B'C'$. Riešenie nájdete Tu.

Riešené príklady.
Osová afinita je daná osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich bodov $(\small A, A'$$)$. Zostrojte bod $\small B'$, ktorý je obrazom daného bodu $\small B$. Nech $m =\small AB$ je priamka určená bodmi $\small A, B$. Uvažujme dva prípady:

1. Priamka $m$ je rôznobežná s osou $o$, riešenie Tu.
2. Ak priamka $m$ je rovnobežná s osou $o$ tak použijeme konštrukciu:
   • zvoľme si vhodnú priamku $p$ prechádzajúcu bodom $\small A$, ktorá nie je rovnobežná s osou $o$
   • na priamke $p$ si zvoľme bod $\small C$ tak, aby priamka $\small BC$ nebola rovnobežná s osou $o$
   • obrazom priamky $\small p = AC$ je priamka $\small a´= A´1$, obraz $\small C´$ bodu $\small C$ musí ležať na priamke $a´$
   • bodmi $\small B, C$ je určená priamka $\small b = BC$, obrazom priamky $b$ je priamka $\small b´= C´2$
   • obraz $\small B´$ bodu $\small B$ musí ležať na priamke $b´$, riešenie Tu.

Veta.
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).

Na zostrojenie takejto elipsu môžeme využiť dva spôsoby.

1. Priama konštrukcia hlavnej a vedľajšej poloosi.
   Nájdením združených priemerov elipsy. Využijeme skutočnosť, že v kružnici združené priemery sú také priemery, ktoré sú vzájomne kolmé. (Priemery elipsy resp. kružnice sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.)

Otvorte si applet Tu.
2. Nepriamo pomocou Rytzovej konštrukcie.
   V kružnici zvolíme dva ľubovoľné na seba kolmé priemery KL, MN a nájdeme ich obrazy K'L', M'N'. Osová afinita zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer. Preto tvoria úsečky K'L', M'N' združené priemery elipsy. Ak poznáme dva združené priemery elipsy, využijeme na nájdenie hlavnej a vedľajšej osi Rytzovu konštrukciu. Pozrite si prácu [PLI].

Poznámka.
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".

Definícia.
Uvažujme dve rôznobežné roviny $\alpha, \alpha'$ a ich priesečnicu označme $o$. Zvoľme ďalej smer $s$, ktorý je rôznobežný s oboma rovinami $\alpha, \alpha'$. Potom priradíme navzájom body a priamky roviny $\alpha$ bodom a priamkam roviny $\alpha'$ tak, že platí:

• spojnice zodpovedajúcich si bodov sú rovnobežné s priamkou $s$,
• priesečníky zodpovedajúcich si priamok ležia na priamke $o$.

Obr. Priestorová afinita, otvorte si dynamický obrázok Tu.

• Osovú afinitu medzi dvoma rôznobežnými rovinami s výhodou využívame pri rezoch rovnobežnostena.
• Porovnajme vlastnosti osovej afinity s rezom hranola, obrázok "Rez hranola (obrázok je prevzatý s práce [PLI]).

Obr. Rez hranola
• Rovina $\rho$ zodpovedá rovine rezu, rovina $\rho'$ zodpovedá rovine dolnej podstavy. Smer afinity s zodpovedá smeru hrán, napríklad $\small AE$. Zodpovedajúce si body sú napríklad body $\small A,A'$. Os $o$ je priesečnica rovín $\rho, \rho'$ a zodpovedá priesečnici roviny podstavy a roviny rezu.

📐 Od osovej afinite k afinnej geometrii
Afinné zobrazenia sa začali systematicky skúmať v 19. storočí po prieniku analytickej geometrie (Descartes, Fermat) a maticového formalizmu. Významným medzníkom bolo dielo J. J. Sylvestera a neskôr Davida Hilberta. Dnes tvoria súčasť lineárnej algebry a geometrie vektorových priestorov.

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami

Otvorte si dynamický obrázok Tu.

Vlastnosti.

1. Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod $\small U \in \alpha$ leží v rovine rovnobežnej s rovinou $\alpha'$, tak priamka $\small \overleftrightarrow{SU}$ sa s rovinou $\alpha'$ pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod $\small V_ \infty$.

Otvorte si dynamický obrázok Tu.
2. Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
3. Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
4. Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.

Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu ja nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:

1. Vlastný bod $\small U$, ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného $\small U'_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
2. Vlastný bod $\small V'$, ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu $\small V_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
3. Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.

Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred $\small S$ je nevlastný bod, tak perspektívna kolineácia je osová afinita.
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.

Otvorte si krokované riešenie Tu.

Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami $\alpha, \alpha'$ v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.

1. Zvolíme si rovinu $\pi$, do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín $\alpha, \alpha'$.
2. Os kolineácie $o$, stred kolineácie $\small S$ a zodpovedajúce si body $\small A,A'$ premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny $\pi$.
3. Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body $\small A*, A'*$ platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
4. Stred kolineácie $\small S*$ je rovnobežným priemetom stredu $\small S$, podobne body $\small A*, A'*$ sú priemety bodov $\small A,A'$.
5. Dvojicu odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$ nazývame kolineárne združené body.
6. Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom $\small S$, osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A → A'$. V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$.

Cvičenie.

1. V kolineácii $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$ zostrojte(určte) úbežnice. Riešenie Tu.
2. V kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o, u)$ zostrojte obraz trojuholníka $\small ABC$. Strany $\small AB, AC$ pretínajú úbežnicu $u$.
   
   
   Riešenie Tu.

Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).

Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou

1. nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
2. má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
3. má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.

Pozrite si riešené príklady Tu.

🌀 Kruhová inverzia – keď sa „blízke“ stane „vzdialeným“
Inverzia premieňa priestor okolo kružnice – to, čo je blízko stredu, sa presunie do diaľky, a naopak. Tento zdanlivo „magický“ nástroj je zároveň mimoriadne presný: premieňa priamky na kružnice, zachováva uhly a zjednodušuje zložité úlohy na elementárne prípady.

Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod $M^ \infty$, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.

Definícia.
V Möbiovej rovine je daná kružnica $\small \omega (S, r)$. Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici $\omega$ je zobrazenie, ktorého obrazom

1. stredu $\small S$ kružnice $\omega$ je bod $\small M^ \infty$
2. bodu $\small M^ \infty$ je stred $\small S$ kružnice $\omega$
3. ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ je bod $\small X'$ ležiaci na polpriamke $\small \overrightarrow {SX}$ tak, že platí
   $\small |SX| · |SX' | = r^2$ .

Poznamenajme, že

1. ak bod $\small X'$ je obrazom bodu $\small X$, potom je aj bod $\small X$ obrazom bodu $\small X'$ , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
2. body na kružnici $\omega$ sú samodružné;
3. bod ležiaci vo vnútri kružnice $\omega$ sa zobrazí na vonkajší bod a naopak.
Konštrukcia obrazu $\small X'$ ľubovoľného bodu $\small X \neq S$ a $\small X \neq M^ \infty$ a $\small X \notin \omega$ je založená na Euklidovej vete o odvesne.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.

Konštrukcia pre bod $\small X$, ležiaci mimo kružnice $\omega$:
Z bodu $\small X$ zostrojíme dotyčnicu kružnice $\omega$, bod dotyku označme $\small T_i$. Z bodu $\small T$ zostrojíme kolmicu na priamku $\small XS$, päta tejto kolmice je hľadaný obraz $\small X'$. Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice $\omega$.
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).

Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla $\small \angle SAB \simeq \angle SB'A'$. Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".

Dôkaz
Z definície kruhovej inverzie vyplýva $\small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|}$.
Teda trojuholníky $\small ABS,BAS$ majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety $sus$ podobné.

Veta (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie $\small S$ sa zobrazujú opäť na túto priamku.

applet
Obr. Obraz priamky

Dôkaz.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod $B$ leží na kolmici k polpriamke $\small \overrightarrow {SA}$. Zrejme platí
$\small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|}$,
lebo trojuholníky $\small SAB,SB'A'$ sú podobné. Uhol pri vrchole $\small X'$ je pravý, preto bod $\small B'$je zrejme bodom Thálesovej kružnice.