Kružnica v duchu Euklida a Hilberta

Kružnica je jedným z najstarších geometrických útvarov známych ľudstvu. Od egyptských kruhových záhonov po kolesá babylonských vozov, jej tvar sprevádza civilizáciu tisícročia. V modernej geometrii sa kružnica stáva miestom presného definovania vzdialenosti a symetrie.
🕰️ Historický rámec
Kružnica ako geometrický objekt sa objavuje už v mezopotámskych textoch zo 17. storočia pred n. l., kde bola základom pre delenie roka na 360 dní. V Euklidových Základoch (Kniha III) je kružnica definovaná čisto pomocou vzdialenosti od stredu – bez úvah o ploche kruhu. V starovekom Grécku bola kružnica považovaná za „dokonalý útvar“, pretože má najvyššiu symetriu spomedzi všetkých rovinných útvarov.
Táto kapitola nadväzuje na Euklidovu definíciu kruhu a rozvíja ju pomocou Hilbertových axióm, pričom ponúka nový pohľad na polohové a metrické vzťahy v interakcii priamky a kružnice – tentokrát aj s podporou nástrojov ako GeoGebra.
Tretia "Kniha" v Euklidových Základoch sa zaoberá vlastnosťami kruhov. Euklides definuje kruh ako rovinný útvar ohraničený jednou zakrivenou čiarou s vlastnosťou, že všetky úsečky vedené od pevného bodu po ohraničujúcu čiaru sú zhodné. Ohraničujúca čiara sa nazýva kružnica a jej pevný bod sa nazýva stred. Táto definícia využíva intuitívne pojmy ako sú: zakrivená a ohraničujúca čiara.
Významný pokrok pri skúmaní závislosti medzi obvodom kruhu a jeho obsahom dosiahol grécky mysliteľ Archimedes, ktorý dokázal aproximovať Ludolfovo číslo \pi na niekoľko desatinných  miest. Jeho štúdie sú predchodcom integrálneho počtu.
V Hilbertovom axiomatickom systéme, kde sú k dispozícii: primitívny pojem "medzi", axiómy usporiadania a axiómy zhodnosti, môžeme uviesť matematicky korektnejšiu definíciu. 
Definícia.
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu S vzdialenosť rovnú kladnému reálnemu číslu r sa nazýva kružnica so stredom \small S a polomerom r . Symbolicky
\small k = \lbrace{x \in \mathbb{E^2 };\; | SX|=r \rbrace} .
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu \small S vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu r sa nazýva kruh so stredom \small S a polomerom r . Symbolicky
\small K= \lbrace{x \in \mathbb{E^2 };\; \left| SX \right| \leq r \rbrace} .
Bod \small S nazývame stred kružnice resp. stred kruhu a číslo r> 0 polomer kružnice resp. kruhu.
Ľubovoľné dva body \small A,B kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery \small SA,SB rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva \small AB rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.

Otvorte si applet Tu.
V práci [HVI, 2007] sa uvádza:
„Kruh nie je len plošným útvarom, ale aj nositeľom množstva zložitejších geometrických javov – výseky, odseky, výrezy, ktoré možno využiť pri diskusiách o obsahu a obvode.“
Definícia.
  1. Nech je daná kružnica \small k(S;r) a body \small A,B, ktoré rozdeľujú kružnicu na dva kružnicové oblúky. Uhol \small ASB nazývame stredový uhol prislúchajúci k oblúku \small AB.
  2. Ak na kružnici zvolíme tri body \small A,B,C, potom uhol \small ACB sa nazýva obvodový uhol prislúchajúci k oblúku \small AB.
Geometrické útvary skúmame hlavne v polohových a metrických kategóriách. V tejto kapitole sa zameriame na vzájomnú polohu priamky a kružnice, vzájomnú polohu dvoch kružníc.
Z hľadiska metrického sa zameriame na vzťah medzi veľkosťou stredového uhla a obvodovými uhlami. Uvedieme aj základné vlastnosti mocnosti bodu ku kružnici.
Nech je daná kružnica \small k (S; r) a priamka p. Skúmajme vzájomnú polohu kružnice k a priamky p.
Je daná kružnica \small k (S; r) a priamka p. Nech \small v = SP je vzdialenosť priamky od stredu kružnice k.
Môžu nastať len tri prípady: \small |SP| > r, |SP| = r  alebo \small |SP| < r. 

Otvorte si applet Tu.
  1. Ak má priamka p od stredu \small S kružnice k vzdialenosť v > r, tak priamka  a kružnica nemajú spoločný bod.
  2. Ak vzdialenosť je rovná polomeru, tak má priamka je dotyčnicou ku kružnici.
    • Priamka, ktorá má s kružnicou jediný spoločný bod, sa nazýva dotyčnica kružnice. Dotyčnica je kolmá na polomer kružnice.
  3. Ak vzdialenosť je menšia ako polomer, tak priamka a kružnica majú dva rôzne spoločné body. Priamka sa nazýva sečnica kružnice.
Definície.
Dané dve kružnice k_1(S_1;r_1), k_2 (S_2;r_2) s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka) \small S_1S_2) ) sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.
Ak pre dve kružnice platí: \small r_1 - r_2 , tak kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch \small A,B).
Ak pre dve kružnice platí: 0 < |S_1S_2| < r_1 - r_2 , tak jedna kružnica leží vo vnútri druhej.

V applete zmeňte polohu bodu \small S_2, otvorte applet Tu.
Ak majú kružnice len jeden spoločný bod \small k_1 ∩ k_2 = T , tak hovoríme, že kružnice sa dotýkajú.
  1. Kružnice majú vonkajší dotyk , ak platí: \small | S_1S_2| = r_1 + r_2 .
  2. Kružnice majú vnútorný dotyk, ak platí: \small | S_1S_2| = r_1 - r_2 .
\( .\)