Euklidove Základy

“Pane, niet kráľovskej cesty ku geometrii.”
Euklidova odpoveď na žiadosť Ptolemaia I. vysvetliť mu svoje Základy rýchlo a ľahko.
Úvodné poznámky ku kapitole
Táto kapitola je venovaná jednému z najvýznamnejších diel v dejinách vedy – Elementom (Základom) od Euklida z Alexandrie. Ich význam presahuje rámec matematiky; predstavujú jeden z prvých pokusov o systematickú výstavbu poznania z východiskových princípov. Dielo je napísané tak precízne, že s malými úpravami slúžilo ako učebnica geometrie viac ako dve tisícročia.
Cieľom tejto kapitoly nie je len predstaviť obsah Euklidových Základov, ale aj ukázať, ako možno ich logickú štruktúru a filozofiu využiť v dnešnom digitálnom vzdelávaní. Vďaka prostrediu GeoGebra môžeme dynamicky zobrazovať klasické konštrukcie, overovať tvrdenia a odhaľovať súvislosti, ktoré sú v tradičnom (statickom) podaní ťažko postrehnuteľné.
1. Axiomatická výstavba geometrie
Euklides buduje svoju geometriu na jasne štruktúrovanom systéme pozostávajúcom zo štyroch úrovní:
  1. Základné pojmy (definície) – intuitívne popisy objektov ako bod, priamka či rovinný útvar.
  2. Postuláty (axiomy) – základné tvrdenia prijímané bez dôkazu, ktoré vyjadrujú konštrukčné možnosti v rovine.
  3. Všeobecné zásady (common notions) – logické princípy typu „veci rovné tej istej veci sú si rovné navzájom“.
  4. Tvrdenia (propozície) – odvodené výroky dokazované na základe predchádzajúcich bodov.
Poznámka.
Už táto koncepcia ukazuje výnimočnosť Euklidovho prístupu – dôraz na dedukciu a konzistentnú výstavbu poznania je základom každej serióznej vedeckej teórie. Pre dnešného študenta je však zrozumiteľnosť týchto pojmov často problémová. Práve preto ich v tejto publikácii prepájame s vizuálnymi reprezentáciami a interaktívnymi prvkami, ktoré umožňujú ich „konštruktívne uchopenie“.
2. Euklidove postuláty
Z piatich Euklidových postulátov sú tri čisto konštrukčné:
  1. Spojiť dva body priamkou.
  2. Predĺžiť úsečku na ľubovoľnú dĺžku.
  3. Opísať kružnicu so zadaným stredom a polomerom.
  4. Štvrtý sa týka zhodnosti pravých uhlov a piaty – známy ako postulát o rovnobežkách – hovorí, že ak priamka pretnutím dvoch iných vytvára vnútorné uhly menšie než dva pravé, potom sa tieto dve priamky stretnú na strane, kde sú tieto uhly menšie.
  5. Piaty postulát má zvláštne postavenie piateho postulátu je dôvodom, prečo sa stal predmetom mnohých snáh o jeho dokázanie, čo napokon viedlo k objaveniu neeuklidovských geometrií. Tento moment je skvelou príležitosťou na diskusiu o hraniciach formálnej logiky a o tom, ako rozšírenie rámca axióm vedie k novým (a rovnako platným) modelom reality.
    6. Matematici sa takmer 2000 rokov snažili piaty postulát dokázať z predchádzajúcich alebo ho aspoň nahradiť niečím jednoduchším, zjavnejším. Neúspešne.
3. Definície a základné pojmy
Euklides neformálne definuje základné objekty takto:
  • Bod – to, čo nemá časti.
  • Čiara – dĺžka bez šírky.
  • Úsečka je čiara, ktorá je v každom svojom bode rovná.
  • Kruh – rovinný útvar, ktorého všetky body ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu.
Poznámka.
Tieto definície sú výsostne intuitívne a niektoré z nich nie sú formálne korektné v dnešnom zmysle slova. Dnes vieme, že bod sa definuje ako prvok množiny, nie ako „to, čo nemá časti“. No na účely výučby môžeme tieto intuitívne obrazy efektívne využiť ako východisko, ktoré potom spresňujeme prostredníctvom aktivít a konštrukcií.
4. Vybrané tvrdenia z 1. knihy Základov
Kapitola obsahuje analýzu niekoľkých základných propozícií, ktoré sú súčasťou 1. knihy Základov. Ich výber bol motivovaný tým, že tvoria základ geometrického myslenia a zároveň sú ľahko vizualizovateľné v GeoGebre.
  • Tvrdenie I.1 – Konštrukcia rovnostranného trojuholníka.
  • Tvrdenie I.2 - Z daného bodu \small A narysovať úsečku \small AF zhodnú s danou úsečkou \small BC .

    Dôkaz tvrdenia vo forme dynamickej konštrukcie si otvoríte Tu.
  • Tvrdenie I.4 (veta sus) – Dva trojuholníky so zhodnými dvoma stranami a uhlom medzi nimi sú zhodné.
  • Tvrdenie I.5 – V rovnoramennom trojuholníku sú uhly pri základni zhodné.
  • Tvrdenie I.29 – Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára na týchto priamkach zhodné striedavé uhly.
Poznámka.
Dôkazy týchto tvrdení sú výbornou príležitosťou na ukážku euklidovskej dedukcie, ako aj na porovnanie s algebraickými (analytickými) dôkazmi vo vyšších ročníkoch štúdia matematiky. V dynamickom prostredí GeoGebra ich môžeme krok po kroku rekonštruovať, vizualizovať a tým prehĺbiť pochopenie geometrických väzieb.
Na záver tohto úvodného pohľadu na Euklidove Základy uvedieme "doslovný" preklad dôkazu Tvrdenia IV - (Základná veta o zhodnosti trojuholníkov sus )
Kniha I, Tvrdenie 4. Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom, tak sú zhodné.
Dôkaz - preklad pôvodného znenia v Základcoh.
  1. Nech \small ABC, DEF sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany \small AB, AC rovné dvom stranám \small DE, DF . Konkrétne \small AB rovná \small DE a \small AC rovná \small DF a uhol \small BAC je rovný uhlu \small EDF .
  2. Hovorím (Euklides), že základňa \small BC sa rovná aj základni \small EF , trojuholník \small ABC sa rovná trojuholníku \small DEF a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol \small ABC sa rovná uhlu \small DEF a uhol \small ACB sa rovná uhlu \small DFE .
    3. Nepriamy dôkaz
    1. Nech trojuholník \small ABC je uložený na trojuholníku \small DEF a ak je bod \small A umiestnený na bode \small D a priamka \small AB na \small DE .
      • Potom bod \small B sa zhoduje s bodom \small E , pretože \small AB sa rovná \small DE .
    2. Priamka \small AC sa tiež rovná \small DF , pretože uhol \small BAC sa rovná uhlu \small EDF .
      • Preto sa bod \small C zhoduje s bodom \small F , teda \small AC sa rovná \small DF .
    3. Ale \small B a tiež zhoduje s \small E , a preto základňa \small BC sa zhoduje so základňou \small EF a rovná sa jej.
      • V opačnom prípade by bodmi \small E , \small F boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
    4. Takže celý trojuholník \small ABC sa zhoduje s celým trojuholníkom \small DEF .
    5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol \small ABC sa rovná uhlu \small DEF a uhol \small ACB sa rovná uhlu \small DFE .
  3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.

Dynamickú konštrukciu otvoríte Tu.
Komentár k dôkazu tvrdenia T/IV je prevzatý a upravený z Euklidových Základov podľa Servíta.
Poznámka
Pri dokazovaní tohto tvrdenia sa predpokladá, že pri prenášaní úsečky (T/II, T/III) resp. uhla sa ich veľkosť nezmení. Toto v Hilbertovej sústave zabezpečujú axiómy zhodnosti.
Príklad
Je daný uhol \small \angle ABC a kružnica \small k=(B, r=BE) . Na priamke \small \overleftrightarrow{CB} nájdite bod \small G tak, aby platilo \small \left| \angle EGC \right| = \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right| .
Riešenie
Nami predložená konštrukcia nie je riešenie známeho problému "trisekcia uhla". Pri riešení využívame postulát Post 2, ktorý zaručuje existenciu bodov \small D, H .
Konštrukcia umožňuje s dostatočnou presnosťou nájsť polohu bodu \small G tak, aby sa veľkosť úsečky \small GH približovala (postupným posúvaním bodu \small G po priamke \small \overleftrightarrow{CB} ) k veľkosti polomeru \small BF a tým aj uhol \small \angle EGC k \small \frac{1}{3} veľkosti uhla \alpha .
Ak si vopred stanovíme presnosť veľkosti \small \frac{1}{3} \left| \angle ABC \right| na n desatinných miest, tak túto úlohu môžeme úspešne riešiť využitím skriptovania v programe GeoGebra.

Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu a prehrajte si konštrukciu pomocou navigačného panela.
\( .\)