Interaktívna geomeria

Euklidovská rovina ako matematický model je definovaná množinou axióm, ktoré určujú jej štruktúru a vzťahy medzi geometrickými entitami. Na rozdiel od tradičného prístupu, v ktorom sa geometrické objekty konštruujú manuálne, prostredie DGS špeciálne GeoGebra vyžaduje deterministické (jednoznačné) definície všetkých prvkov.Tieto definície sú kódované v príkazovom jazyku systému a zakladajú sa na presnom algebraickom modeli dvojrozmerného afinného priestoru nad reálnymi číslami.

Je dôležité, aby prvky geometrických útvarov boli deterministicky definované (Vallo, 2021). Uvedieme ukážku ako sa s problémom totožnosti bodov vysporiadali tvorcovia softvéru GeoGebra. V práci (KOB, 2024) je popísaný model, ktorý je izomorfný s afinným dvojrozmerným priestorom nad poľom reálnych čísel. Uvádzame doslovný prepis tohto modelu.

Požiadavka determinovanosti z pohľadu geometrie znamená presne stanoviť, čo predstavuje bod so súradnicami $\small (a,b)$. Presné geometrické vymedzenie (determinovanosť) veľmi dobre interpretujú nasledovné príkazy softvéru GeoGebra.

1. Príkaz $\small A = (a,b)$ vygeneruje na zobrazovacej ploche bod so súradnicami $\small (a,b)$ a s popisom $\small A$.
   
2. Príkaz $\small B = (a,b)$ vygeneruje opäť bod s tými istými súradnicami a s popisom $\small B$.

Obidva body sa budú prekrývať a budú prezentovať dva totožné body. Môžeme ich aj farebne odlíšiť, čo sa zjavne prejaví pri dynamickej zmene bodu $\small B$.
Pri klasickej výučbe geometrie (manuálne rysovacie prostriedky) je problematické reálne „pracovať“ s totožnými (identickými) útvarmi. Napríklad dva rôzne ale totožné body rozlíšime len tak, že pri ich popise uvedieme $\small A = B$.
Poznámka. V DGS priesečník dvoch priamok sa musí exaktne definovať pomocou nástroja Priesečník. Ak nie, tak DGS ho neidentifikuje ako bod.

V súčasnej edukácii geometrie zohrávajú dynamické geometrické systémy (DGS) čoraz významnejšiu rolu. Tieto technológie umožňujú nielen vizualizáciu a manipuláciu s geometrickými objektmi, ale aj hlbšie pochopenie ich vlastností prostredníctvom interakcie. V tejto kapitole zameriavame na špecifiká, ktoré prináša modelovanie euklidovskej roviny v prostredí softvéru GeoGebra – jedného z najrozšírenejších nástrojov DGS v školskom i akademickom prostredí.

Hilbertov axiomatický systém

V roku 1899 slávny matematik David Hilbert publikoval prácu Grundlagen der Geometrie, v ktorej navrhuje axiomatický systém, nahrádzajúci tradičné axiómy Euklida. Hilbert definuje geometriu ako formálny systém postavený na:

• primitívnych objektoch: body, priamky, roviny;
• primitívnych vzťahoch: incidencia (napr. „bod leží na priamke“), usporiadanie („bod $\small B$ leží medzi $\small A , C$“), používa sa označenie $\small A \ast B \ast C$ a kongruencia („$u \cong v$ ["úsečka $u$ je zhodná s úsečkou $v$"],“).

Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.

1. axiómy incidencie - napr. „dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka“.
2. axiómy usporiadania - zavádzajú poradie bodov na priamke a pojmy ako „medzi“.
3. axiómy zhodnosti (kongruencie) - umožňujú prenášať dĺžky a uhly – zabezpečujú rigiditu priestoru.
4. axióma o rovnobežnosti - zodpovedá Euklidovmu 5. postulátu – dá sa nahradiť alternatívami v neeuklidovských geometriách.
5. axiómy spojitosti - zabezpečujú spojitosť priestoru – analógia vlastností reálnych čísel.

Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm. Ako deduktívne dôsledky týchto axióm Hilbertov systém zahŕňa tvrdenia, ktoré vyjadrujú vzťahy medzi geometrickými objektmi. Ako ukážku uvádzame jedno z prvých dokázaných tvrdení.

Tvrdenie
Ak $p,q$ sú dve rôzne priamky, potom $p$ a $q$ majú najviac jeden spoločný bod.

Dôkaz. nepriamo

• predpokladajme, že $\small p \neq q$ a zároveň $\small A,B \in p \cap q$;
• potom $\small A ∈ p , B ∈ p$ a zároveň $\small A ∈ q , B ∈ q$;
• podľa axiómy I1 existuje priamka $\small \overleftrightarrow{AB}$ je určená bodmi $\small A, B$;
• a zároveň podľa axiómy I1 bude $\small p=\overleftrightarrow{AB}$, lebo $\small A, B \in p$;
• podobne zistíme, že $\small q=\overleftrightarrow{AB}$
• a teda musí platiť $\small p=q$, čo je spor s predpokladom sú totožné.

Poznámky.

1. Význam axiomatického myslenia pre budúcich učiteľov
   „Hilbert veril, že správny spôsob, ako rigorózne rozvíjať akýkoľvek vedecký predmet, si vyžaduje axiomatický prístup. [...] Základným významom axiomatického prístupu je analýza logických vzťahov medzi základnými konceptmi a axiómami.“
   Zach, R. (2005). "Hilbert's Program Then and Now", arXiv
2. Hilbertov axiomatický prístup ako nástroj didaktickej reflexie
   „Hilbert nikdy nepovažoval axiomatiku za východiskový bod pre vývoj matematickej alebo vedeckej teórie. Skôr by sa mala aplikovať len na existujúce, dobre rozpracované disciplíny ako užitočný nástroj na objasnenie a ďalší rozvoj.“
   Corry, L. (2021). "Hilbert and the Axiomatic Approach: Its Background and Development", Academia.edu
3. Hilbertov prístup umožňuje postaviť geometriu ako formálny deduktívny systém, kde nič nie je ponechané intuícii. Dôležitou črtou je možnosť hľadať modely, v ktorých tieto axiómy platia – a tým porovnávať rôzne druhy geometrií.

Modely geometrie.

Model geometrie je konkrétna interpretácia primitívnych pojmov, v ktorej platia (alebo neplatia) určité axiómy. Slúži na overenie konzistentnosti systému a zároveň na ilustráciu toho, že existujú rôzne druhy geometrického priestoru.

1. Euklidovská rovina (klasický model)
   • Body: usporiadané dvojice reálnych čísel.
   • Priamky: lineárne rovnice.
   • Miera: kartézska rovina s bežnou mierou dĺžky a uhla.
2. Hyperbolický model (Poincarého disk)
   • Základný rozdiel: z bodu mimo priamky možno viesť nekonečne veľa rovnobežiek.
   • Vnútorný priestor disku: predstavuje „rovinu“.
   • Priamky: oblúky kružníc kolmé na okraj disku.
   
   Poincaré Disk si môžete aktivovať Tu
   Tento model je kľúčový pri výučbe neeuklidovskej geometrie. V GeoGebre existujú rozšírenia, ktoré umožňujú konštrukcie v Poincarého modeli.
3. Algebraický model (afinná geometria)
   • Body: súradnice v ℝ².
   • Priamky: lineárne rovnice.
   • Bez pojmu uhla alebo vzdialenosti – zachováva len kolinearitu a rovnobežnosť.
Algebraický model je vhodný na precvičenie analytickej geometrie. Je to presne to, čo žiaci poznajú z práce so súradnicovou rovnicou priamky.

1. Sféra ako neincidenčný model
   • Bodmi sú body na guľovej ploche (sfére). Priamkami sú kružnice na sfére so stredom v strede gule.
   • Každé dve priamky sa pretínajú v dvoch bodoch, preto nejde o model incidenčnej geometrie. Otvorte si applet a pohybujte bodmi $\small A,B, C,D$.
   
   Otvorte si interaktívny applet Tu
2. Lineárna perspektíva - priemet Euklidovského priestoru do dvojrozmernej roviny (na plátno). Vhodná pre aplikácie vo výtvarnom umení (perspektíva), architektúre, a počítačovej grafike.
   
   Prevzaté z: Parramón, José M.: Perspektiva pro výtvarníky, Praha : JAN VAŠUT, 1998, ISBN 80-7236-041-8
   Otvorte si projekciu bodov v GeoGebra modeli Tu. Porovnajte s pohľadom na koľajnice. Pohľad na koľajnice je vlastne zobrazenie v lineárnej perspektíve.

Záver
Hilbertov axiomatický prístup a koncept modelov geometrie nám otvárajú oči: geometria nie je len opis sveta okolo nás, ale formálny jazyk, ktorým možno popisovať rôzne „svety“ – každý so svojimi vlastnými pravidlami. Vďaka digitálnym nástrojom môžeme tieto svety nielen predstavovať, ale aj konštruovať, skúmať a porovnávať – interaktívne a experimentálne.