Tetivový štvoruholník

Prémiová úloha

Prémiová úloha pre študentov 2. ročníka UČMA.
Téma: Presná konštrukcia tetivového (tiež cyklického) štvoruholníka so zadanými stranami.
Úloha.
Zostrojte cyklický štvoruholník (tetivový), ktorého dĺžky strán sú:
AB = a, \quad BC = b, \quad CD = c, \quad DA = d.
Nepoužívajte žiadny algebraický výpočet uhlopriečok ani trigonometrické funkcie. Využite princíp inverznej Ptolemaiovej vety a známe konštrukcie elíps.
Postup konštrukcie - návod
  1. Zvoľte bod A a zostrojte úsečku AB = a.
  2. Zostrojte elipsu s ohniskami A a B, pre ktorú platí AC + CB = a+b. Bod C sa bude nachádzať na tejto elipse.
  3. Zostrojte elipsu s ohniskami A a B, pre ktorú platí ...
Poznámky.
  1. Na konštrukciu elípsy využite buď definíciu pomocou kružidla (súčet vzdialeností k ohniskám je konštantný), alebo pre pokročilejších možné využitie digitálnej geometrie (GeoGebra).
  2. Riešenie doplňte komentárom/diskusiou, ktorý/á vysvetľuje, prečo bod C z tejto konštrukcie zabezpečuje existenciu tetivového štvoruholníka.
Za úspešne vykonanú konštrukciu a zdôvodnenie môže študent získať 1 prémiový bod.
\( .\)