Geometria kružnice
Site: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Course: | Planimetria a stereometria N |
Book: | Geometria kružnice |
Printed by: | Hosťovský používateľ |
Date: | Monday, 20 May 2024, 10:33 AM |
Kružnica, kruh
Definícia.
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu vzdialenosť rovnú kladnému reálnemu číslu sa nazýva kružnica so stredom a polomerom . Symbolicky Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu sa nazýva kruh so stredom a polomerom . Symbolicky
Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu vzdialenosť rovnú kladnému reálnemu číslu sa nazýva kružnica so stredom a polomerom . Symbolicky Množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu sa nazýva kruh so stredom a polomerom . Symbolicky
Bod
nazývame stred kružnice resp. stred kruhu a číslo polomer kružnice resp. kruhu.
Ľubovoľné dva body kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.
Otvorte si applet Tu.
Otvorte riešenie Tu.
Ľubovoľné dva body kružnice delia túto kružnicu na dve časti, ktoré nazývame oblúky kružnice alebo kružnicové oblúky.
Dva polomery rozdelia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.
Tetiva rozdelí kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové odseky.
Otvorte si applet Tu.
Definícia.
V geometrii skúmame vlastnosti geometrických útvarov v dvoch základných kategóriách, ktoré zahŕňajú:
- polohové vlastnosti,
- metrické vlastnosti.
- vzájomnú polohu priamky a kružnice,
- vzájomnú polohu dvoch kružníc.
- vzťah medzi veľkosťou stredového uhla a prislúchajúcich obvodových uhloch v kružnici,
- mocnosť bodu ku kružnici.
Je daná kružnica a priamka . Nech je vzdialenosť priamky od stredu kružnice .
Môžu nastať len tri prípady: alebo . Aktivujte zaškrtávacie políčko v applete.
Otvorte si applet Tu.
Môžu nastať len tri prípady: alebo . Aktivujte zaškrtávacie políčko v applete.
Otvorte si applet Tu.
- Ak má priamka od stredu kružnice vzdialenosť , tak priamka kružnicu nepretína.
- Ak priamka má od stredu kružnice vzdialenosť rovnú polomeru , tak má priamka s kružnicou jediný spoločný bod .
- Priamka, ktorá má s kružnicou jediný spoločný bod, sa nazýva dotyčnica kružnice.
- Spoločný bod priamky a kružnice je bod dotyku.
- Dotyčnica je vždy kolmá na polomer kružnice .
- Ak má priamka od stredu kružnice vzdialenosť , tak má priamka a kružnica dva rôzne spoločné body.
- Priamka, ktorá má s kružnicou dva rôzne spoločné body, sa nazýva sečnica kružnice.
- Spoločné body priamky a kružnice sú ich priesečníky.
Príklad.
Je daná kružnica a jej dotyčnica . Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú kružnice tak aj priamky a majú pritom polomer .
Je daná kružnica a jej dotyčnica . Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú kružnice tak aj priamky a majú pritom polomer .
Otvorte riešenie Tu.
Definícia.
Dané dve kružnice s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka) ) sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.
Dané dve kružnice s rôznymi stredmi. Priamka (resp. úsečka) ) sa nazýva stredná týchto dvoch kružníc.
Veta o obvodových uholch
Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.
Otvorte motivačný applet Tu.
- Priložený applet je motivačný a môžete ho využiť pri skúmaní závislosti veľkosti obvodových uhlov od polohy bodu .
- Veľkosť obvodového uhla nezávisí od polohy bodu , rozhodujúce sú body resp. uhol .
- Konštrukcia oblúka, z ktorého vidieť úsečku pod daným uhlom. Otvorte si konštrukciu Tu.
- Ak body sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.
Dôkaz (vety o obvodových uhloch).
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.
Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.
- "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch."
- "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú" (Kniha 1, Tvrdenie V).
Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:
Dôsledok.
Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech je vnútorný bod uhla . Potom obvodový uhol je polovicou stredového uhla .
Nech je vnútorný bod uhla . Potom obvodový uhol je polovicou stredového uhla .
Konštrukčný dôkaz Tu
Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech leží na ramene uhla Potom obvodový uhol je tiež polovicou stredového uhla .
Nech leží na ramene uhla Potom obvodový uhol je tiež polovicou stredového uhla .
Posuňte bod C proti smeru hodinových ručičiek do krajnej polohy vľavo tak, aby body ležali na jednej priamke (boli kolineárne). Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.
Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol je polovicou stredového uhla .
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol je polovicou stredového uhla .
Zrejme platí . Pozrime sa na rozdiel uhlov pri vrchole .
Zistíme, že . Keďže trojuholníky , sú rovnoramenné, tak platí
Pozrite si konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Pre bod môžu nastať len tieto tri prípady, preto je dôkaz vety o obvodových uhloch ukončený.
Príklad.
Je daná kružnica a na nej dva body . Pre každý priemer kružnice zostrojíme (ak existuje) priesečník priamok . Určte množinu všetkých takých priesečníkov. Budeme predpokladať, že nie je priemer kružnice. (Larson 8.1.2. - zadanie Tu.)
Je daná kružnica a na nej dva body . Pre každý priemer kružnice zostrojíme (ak existuje) priesečník priamok . Určte množinu všetkých takých priesečníkov. Budeme predpokladať, že nie je priemer kružnice. (Larson 8.1.2. - zadanie Tu.)
V planimetrii sa pomerne často vyskytujú úlohy, v ktorých sa hľadá množina bodov s danou vlastnosťou .
Symolicky to môžeme zapísať takto . Takéto množiny sa tiež označujú ako "Geometrické miesta bodov (GMB)". Riešenie takýchto úloh sa
skladá z troch častí:
Otvorte si konštrukčný dôkaz Tu.
Postup, ktorý sme popísali v týchto 7 krokoch, zahŕňa časť A aj časť B. Experimentálne sme stanovili, že množina je kružnicový oblúk . Na overenie platnosti výroku " má vlastnosť " teraz stačí ukázať, že výroková formula je tautológia. To je však zrejmé. Keďže aj opačný postup je tautológia, tak aj časť C je pravdivý výrok.
- Najskôr musíme určiť základné charakteristické prvky danej množiny (najčastejšie experimentálne) resp. komplexne popísať danú množinu . Potom overiť platnosť výrokov:
- má vlastnosť ,
- ak má vlastnosť , tak patrí do množiny .
- Thalesova veta hovorí, že trojuholníky sú pravouhlé s pravým uhlom pri vrcholoch .
- Obvodové uhly a majú rovnakú veľkosť .
- Označme si a .
- Súčet uhlov v trojuholníku je 180°, preto bude .
- Odtiaľ dostávame, že súčet uhlov je konštantný pre ľubovoľný priemer a dva pevné body .
- Preto aj vrcholové uhly majú konštantnú veľkosť. To znamená, že body ležia na kružnicovom oblúku .
- K nájdeniu oblúka stačí zvoliť jeden priemer a jeden odpovedajúci priesečník .
Otvorte si konštrukčný dôkaz Tu.
Poznámky.
- Pri určovaní GMB je mnohokrát najťažší krok A.
- Program GeoGebra tento krok zjednoduší tým, že pomocou nástroja "Množina bodov" (nachádza sa v sekcii nástrojov "Kolmica") vykreslí hľadanú množinu .
- Potom je však nutné realizovať kroky B a C.
- Pozrite si aplikovanie tohto nástroja v kurze Didaktika matematiky v knihe Množiny bodov. Dostupné Tu.
Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica so stredom a polomerom . Bod leží zvonka kružnice. Nech je sečnica
kružnice vedená bodom a sú priesečníky sečnice s kružnicou .
Skúmajme súčin . Po otvorení motivačného appletu a experimentovaním s polohou bodu , môžeme vysloviť hypotézu:
Otvorte si motivačný applet Tu.
Otázky.
Je súčin nezávislý od polohy sečnice ? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov ?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod leží vo vnútri kružnice ? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.
Je súčin nezávislý od polohy sečnice ? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov ?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod leží vo vnútri kružnice ? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.
Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu roviny možno priradiť reálne číslo , pre ktorého absolútnu hodnotu platí , pričom
Ľubovoľnému bodu roviny možno priradiť reálne číslo , pre ktorého absolútnu hodnotu platí , pričom
Dôkaz.
Otvorte si konštrukčný dôkaz Tu.
Poznámka.
V prípade, keď bod leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.
V prípade, keď bod leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.
Nasledujúca veta platí len v prípade, že bod je mimo kružnice . Mocnosť bodu v tomto prípade môžeme vyjadriť pomocou veľkosti úsečky , kde je dotykový bod dotyčnice ku kružnici, ktorá prechádza bodom .
Veta 2.
Pre mocnosť bodu , ktorý leží zvonka kružnice , platí rovnosť . Bod je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom .
Pre mocnosť bodu , ktorý leží zvonka kružnice , platí rovnosť . Bod je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom .
Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo veta 1.
Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov , ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí .
Pri odvodení vzťahu môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.
- Vzťah platí pro ľubovoľnú sečnicu.
- Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode .
- Bod i bod sa blížia k bodu .
- Veľkosť úsečky sa blíži k veľkosti úsečky .
- Z toho usudzujeme, že súčin sa blíži k súčinu .
Pri odvodení vzťahu môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.
Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice . Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.
Majme dve nesústredné kružnice . Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.
Korektnosť definície a konštrukcia chordály.
Otvorte applet Tu.
- Dané kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
- Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
- V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu , ktorá pretína obe kružnice . Zostrojme chordály . Ich priesečník označme . Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc . Aktivujte si priložený applet.
Otvorte applet Tu.
Cvičenie II
- Zostrojte trojuholník , pre ktorý sú dané ťažnice .
- Zostrojte trojuholník , pre ktorý je dané: . Riešenie vyhľadajte v práci [DAV].
- Zostrojte trojuholník , pre ktorý je daná výška , ťažnica a stred opísanej kružnice . Zadanie Tu. Riešenie Tu.
- Daná je úsečka a priamka . Zostrojte trojuholník s vrcholom a výškou , ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke . Pozri 56. ročník MO, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Riešenie Tu.
- Zostrojte trojuholník , pre ktorý je daná výška a ťažnice .
- Zostrojte trojuholník , pre ktorý sú dané výšky .
- Dokážte, že pre ťažnice platí vzťah: .Pozri prácu [KRI], str. 19.
- Dokážte, že ťažnice v ľubovoľnom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode pomocou osovej afinity.
Zobrazenia
Definícia.
Pod geometrickým zobrazením v rovine rozumieme predpis , ktorý ľubovoľnému bodu priradí najviac jeden bod .
Pod geometrickým zobrazením v rovine rozumieme predpis , ktorý ľubovoľnému bodu priradí najviac jeden bod .
V tejto kapitole sa budeme skúmať
- zhodné a podobné zobrazenia,
- osovú afinitu,
- stredovú kolineáciu,
- kruhovú inverziu.
Definícia.
Zobrazenie nazývame zhodné zobrazenie v ( ), ak pre každé dva rôzne body platí
,
kde . Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).
Zobrazenie nazývame zhodné zobrazenie v ( ), ak pre každé dva rôzne body platí
,
kde . Zhodné zobrazenia predstavujú geometrické zobrazenia euklidovskej roviny, ktoré zachovávajú incidenciu útvarov a vzdialenosť bodov (metriku).
Rovinné geometrické útvary sa nazývajú zhodné , ak existuje zhodné zobrazenie, ktoré jeden z nich zobrazí na druhý. Zhodnosť dvoch útvarov symbolicky označíme takto: alebo takto .
Definícia.
V euklidovskej rovine poznáme šesť typov zhodných zobrazení a to
- identitu,
- osovú súmernosť,
- stredovú súmernosť,
- otočenie (rotáciu),
- posunutie (transláciu),
- posunutú súmernosť.
Tvrdenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.
Zložením dvoch zhodných zobrazení je zhodné zobrazenie.
Dôkaz tohto tvrdenia prenechávame na čitateľa.
Definícia.
Nech je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:
Nech je daná priamka. Zobrazenie, pre ktoré platí:
- obrazom bodu ležiaceho na priamke je bod , ktorý je totožný s bodom ,
- obrazom bodu neležiaceho na priamke je bod , pre ktorý platí, že priamka je kolmá na priamku
a stred úsečky leží na priamke ,
nazývame osová súmernosť, - Priamku nazývame os osovej súmernosti. Osovú súmernosť s osou budeme označovať symbolom .
Otvorte si applet Tu.
Cvičenie.
Je daná priamka a body ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou . Určte bod tak, aby súčet bol čo najmenší.
Riešenie Tu.
Je daná priamka a body ležiace v tej istej polrovine s hraničnou priamkou . Určte bod tak, aby súčet bol čo najmenší.
Riešenie Tu.
Stredová súmernosť a rotácia
Otvorte si dynamickú prezentáciu Tu.
Definícia.
Nech je daný bod , uhol (veľkosť uhla je nanajvýš 360°) a orientácia kladná (proti smeru hodinových ručičiek) resp. záporná (v smeru hodinových ručičiek). Zobrazenie, pre ktoré platí:
Nech je daný bod , uhol (veľkosť uhla je nanajvýš 360°) a orientácia kladná (proti smeru hodinových ručičiek) resp. záporná (v smeru hodinových ručičiek). Zobrazenie, pre ktoré platí:
Otvorte si applet Tu.
Tvrdenia (Rozklad zhodností na osové súmernosti).
- Identitu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú totožné. (Dôkaz prenechávame na čitateľa).
- Každú stredovú súmernosť možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú na seba kolmé a prechádzajú stredom stredovej súmernosti.
- Každú rotáciu možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi prechádzajú stredom rotácie, zvierajú uhol, ktorého veľkosť sa rovná jednej polovici veľkosti uhla rotácie, pričom orientácia uhla rotácie je súhlasná s orientáciou uhla od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.
Otvorte konštrukčný dôkaz Tu.
Cvičenie (Stredová súmernosť).
Sú dané dve sústredné kružnice a bod vo vnútri . Zostrojte obdĺžnik tak, že a bod je jeho stredom. Riešenie Tu.
Sú dané dve sústredné kružnice a bod vo vnútri . Zostrojte obdĺžnik tak, že a bod je jeho stredom. Riešenie Tu.
Posunutie
Definícia.
Daný je vektor . Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu je bod , pričom platí rovnosť vektorov , sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor budeme označovať .
Daný je vektor . Zobrazenie, pre ktoré platí, že obrazom bodu je bod , pričom platí rovnosť vektorov , sa nazýva posunutie alebo translácia.
Vektor nazývame vektor posunutia. Posunutie o vektor budeme označovať .
Otvorte si applet Tu.
Tvrdenie.
Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.
Každé posunutie možno rozložiť na dve osové súmernosti, ktorých osi sú rovnobežné (rôzne), zároveň sú kolmé na vektor posunutia, ich vzdialenosť je rovná jednej polovici veľkosti vektora posunutia, pričom orientácia vektora posunutia je súhlasná s orientáciou od osi prvej osovej súmernosti ku osi druhej osovej súmernosti podľa poradia v zložení.
Určenie vektora posunutia, ak posunutie je dané dvomi osovými súmernosťami je prezentované appletom "Posunutie".
Otvorte si applet "Posunutie" Tu.
Definícia.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán a veľkosť uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.
Zostrojte rovnobežník ak sú dané veľkosti jeho strán a veľkosť uhla, ktorý zvierajú jeho uhlopriečky.
Otvorte si riešenie Tu.
Definícia.
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou a vektorom budeme označovať ).
Zobrazenie, ktoré je zložením osovej súmernosti a posunutia (v ľubovoľnom poradí), pričom os osovej súmernosti a vektor posunutia sú rovnobežné, nazývame posunutá súmernosť ; (posunutú súmernosť danú osou a vektorom budeme označovať ).
Poznámka.
V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.
V niektorej literatúre sa pre posunutú súmernosť používa názov posunuté zrkadlenie.
Tvrdenie
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.
Zložením troch osových súmerností s navzájom rôznymi osami je buď osová súmernosť’ alebo posunutá súmernosť.
Dôkaz
Nech sú dané osové súmernosti a nech sú navzájom rôzne priamky. Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:
Nech sú dané osové súmernosti a nech sú navzájom rôzne priamky. Pre vzájomnú polohu týchto troch priamok môžu nastať 3 prípady:
- Všetky priamky sú navzájom rovnobežné → výsledné zložené zobrazenie je osová súmernosť.
- Dve sú rovnobežné a tretia ich pretína → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť.
- Priamky ležia na stranách trojuholníka (navzájom sú rôznobežné) → výsledné zložené zobrazenie je posunutá súmernosť. Otvorte si applet Tu.
Grupa zhodných zobrazenií
Tvrdenie.
- Zloženie ľubovoľného konečného počtu osových súmerností možno vždy redukovať na zloženie maximálne troch osových súmerností.
Pozrite si konštrukčný dôkazu Tu.
- Zložením ľubovoľného konečného počtu zhodných zobrazení je identita, alebo osová súmernosť, alebo stredová súmernosť, alebo rotácia, alebo translácia, alebo posunutá súmernosť.
- Všetky zhodnosti v rovine tvoria vzhľadom na skladanie zobrazení grupu (tzv. grupu zhodností). Generátorom grupy zhodností je osová súmernosť.
Zhodnosti reprodukujúce štvorec tvoria podgrupu. Pozrite si dynamický model.
Otvorte Tu.
Rovnoľahlosť
Definícia.
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky je úsečka , ktorej veľkosť je -násobkom veľkosti úsečky ( ).
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky je úsečka , ktorej veľkosť je -násobkom veľkosti úsečky ( ).
V každom podobnom zobrazení platí:
Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod a reálne číslo . Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie , ktoré priraďuje:
Je daný bod a reálne číslo . Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie , ktoré priraďuje:
Otvorte si applet Tu.
Poznámka.
Rovnoľahlosť je podobnosť s koeficientom . Pre je identitou, pre rotáciou okolo o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode ).
Pre je jediným samodružným bodom stred . Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.
Rovnoľahlosť je podobnosť s koeficientom . Pre je identitou, pre rotáciou okolo o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode ).
Pre je jediným samodružným bodom stred . Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.
Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.
Vľavo. V rovnoľahlosti platí: . Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.
Veta 1.
V rovnoľahlosti :
V rovnoľahlosti :
- každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
- každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
- každé dve nezhodné kružnice sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
- spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným a vonkajším stredom rovnoľahlosti).
Otvorte si applet Tu.
Veta 2.
Nech sú dve kružnice rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod , vnútorný stred rovnoľahlosti . Potom platí
, .
Nech sú dve kružnice rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod , vnútorný stred rovnoľahlosti . Potom platí
, .
Veta 3.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.
Cvičenie 1.
Do daného trojuholníka vpíšte štvorec tak , aby strana ležala na strane , bod ležal na strane a bod na strane .
Riešenie v práci [RUM], str. 98.
Do daného trojuholníka vpíšte štvorec tak , aby strana ležala na strane , bod ležal na strane a bod na strane .
Riešenie v práci [RUM], str. 98.
Cvičenie 2.
Sú dané dva rôzne body , ktorých vzdialenosť je . Ďalej je dané kladné číslo . Zostrojte kosoštvorec s výškou tak ,aby bod bol stredom jeho strany .
Sú dané dva rôzne body , ktorých vzdialenosť je . Ďalej je dané kladné číslo . Zostrojte kosoštvorec s výškou tak ,aby bod bol stredom jeho strany .
Otvorte si rozbor úlohy Tu. Riešenie v práci [KRIZ], príklad 103.
Afinita
Geometrické zobrazenia v euklidovskej rovine môžeme skúmať aj podľa počtu a druhu samodružných prvkov.
Definícia (Samodružné prvky).
- Samodružný bod je bod, ktorý sa pri zobrazení zobrazí sám na seba. Platí: .
- Samodružná priamka je priamka, ktorá sa pri zobrazení zobrazí sama na seba . Zároveň existuje bod , ktorý sa zobrazí do bodu .
- Priamka samodružných bodov je priamka, kde každý jej bod je samodružný. Pre každý bod na priamke platí X = X'. Hovoríme o bodovo samodružnej priamke.
Zvoľme si v euklidovskej rovine dve rôznobežné priamky . Pozrite si obrázok Afinita. Budeme skúmať geometrické zobrazenie s vlastnosťami
Obr. Afinita
- Obrazom ľubovoľného bodu je ten istý bod , priamka je bodovo samodružná..
- Obrazom ľubovoľného bodu je bod , ktorý leží na priamke .
- Obrazom priamky je priamka , pričom bod je samodružný. V prípade rovnobežnosti je tiež (bod 1 je nevlastný).
- Obrazom priamky rovnobežnej s priamkou je tá istá priamka, priamka je samodružná.
- Takéto zobrazenie je zrejme bijektívne zobrazenie euklidovskej roviny. Budeme ho nazývať osová afinita v rovine.
Obr. Afinita
Vlastnosti.
- osová afinita je jednoznačne určená priakou a dvojicou odpovedajúcich si bodov ,
- priamku nazývame os afinity a priamku nazývame smer afinity,
- osová afinita zachováva incidenciu, rovnobežnosť a deliaci pomer troch kolineárnych bodov. Dôkaz je založený na vlastnosti podobných trojuholníkov. Pozrite si prácu [PLICH].
Osovú afinitu môžeme využiť aj pri dôkazoch niektorých vlastností všeobecných trojuholníkov. Stačí ak dokážeme určiť osovú afinitu, v ktorej sa daný všeobecný trojuholník zobrazí na rovnostraný trojuholník. Keďže osová afinita zachováva incidenciu a deliaci pomer (špeciálne stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky), tak napríklad vlastnosť ťažníc stačí dokázať len pre rovnostranný trojuholník.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.
Uvedieme konštrukciu ako takúto osová afinitu určuíť.
Cvičenie.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník zobrazil do rovnostranného trojuholníka . Riešenie nájdete Tu.
Určte OA tak, aby sa všeobecný trojuholník zobrazil do rovnostranného trojuholníka . Riešenie nájdete Tu.
Riešené príklady.
Osová afinita je daná osou a dvojicou odpovedajúcich bodov . Zostrojte bod , ktorý je obrazom daného bodu . Nech je priamka určená bodmi . Uvažujme dva prípady:
Osová afinita je daná osou a dvojicou odpovedajúcich bodov . Zostrojte bod , ktorý je obrazom daného bodu . Nech je priamka určená bodmi . Uvažujme dva prípady:
- Priamka je rôznobežná s osou , riešenie Tu.
- Ak priamka je rovnobežná s osou tak použijeme konštrukciu:
- zvoľme si vhodnú priamku prechádzajúcu bodom , ktorá nie je rovnobežná s osou
- na priamke si zvoľme bod tak, aby priamka nebola rovnobežná s osou
- obrazom priamky je priamka , obraz bodu musí ležať na priamke
- bodmi je určená priamka , obrazom priamky je priamka
- obraz bodu musí ležať na priamke , riešenie Tu.
Veta.
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).
Obraz kružnice v osovej afinite je elipsa (dôkaz je jednoduchý ak využijeme metódy analytickej geometrie).
Na zostrojenie takejto elipsu môžeme využiť dva spôsoby.
- Priama konštrukcia hlavnej a vedľajšej poloosi.
Nájdením združených priemerov elipsy. Využijeme skutočnosť, že v kružnici združené priemery sú také priemery, ktoré sú vzájomne kolmé. (Priemery elipsy resp. kružnice sa nazývajú združené, ak sú dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru rovnobežné s druhým priemerom a naopak.) - Nepriamo pomocou Rytzovej konštrukcie.
V kružnici zvolíme dva ľubovoľné na seba kolmé priemery KL, MN a nájdeme ich obrazy K'L', M'N'. Osová afinita zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer. Preto tvoria úsečky K'L', M'N' združené priemery elipsy. Ak poznáme dva združené priemery elipsy, využijeme na nájdenie hlavnej a vedľajšej osi Rytzovu konštrukciu. Pozrite si prácu [PLI].
Otvorte si applet Tu.
Poznámka.
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".
Vzťah osovej afinity v euklidovskej rovine si môžeme predstaviť aj ako kolmý priemet priestorovej afinity. Uvedieme definíciu osovej afinity medzi dvoma rôznobežnými rovinami v euklidovskom priestore z práce [DRA]. Pozrite si dynamický obrázok "Priestorová afinita".
Definícia.
Uvažujme dve rôznobežné roviny a ich priesečnicu označme . Zvoľme ďalej smer , ktorý je rôznobežný s oboma rovinami . Potom priradíme navzájom body a priamky roviny bodom a priamkam roviny tak, že platí:
Uvažujme dve rôznobežné roviny a ich priesečnicu označme . Zvoľme ďalej smer , ktorý je rôznobežný s oboma rovinami . Potom priradíme navzájom body a priamky roviny bodom a priamkam roviny tak, že platí:
Obr. Priestorová afinita, otvorte si dynamický obrázok Tu.
- Osovú afinitu medzi dvoma rôznobežnými rovinami s výhodou využívame pri rezoch rovnobežnostena.
- Porovnajme vlastnosti osovej afinity s rezom hranola, obrázok "Rez hranola (obrázok je prevzatý s práce [PLI]).
- Rovina zodpovedá rovine rezu, rovina zodpovedá rovine dolnej podstavy. Smer afinity s zodpovedá smeru hrán, napríklad . Zodpovedajúce si body sú napríklad body . Os je priesečnica rovín a zodpovedá priesečnici roviny podstavy a roviny rezu.
Obr. Rez hranola
Stredová kolineácia
Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny a bod , ktorý neleží ani v jednej z nich.
Nech sú dané dve rôzne roviny a bod , ktorý neleží ani v jednej z nich.
- Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia.
- Stred premietania sa nazýva stred kolineácie. Priamku , priesečnicu rovín , nazývame osou stredovej kolineácie.
Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami
Otvorte si dynamický obrázok Tu.
Vlastnosti.
- Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod leží v rovine rovnobežnej s rovinou , tak priamka sa s rovinou pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod .
- Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
- Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
- Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.
Otvorte si dynamický obrázok Tu.
Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu ja nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:
- Vlastný bod , ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
- Vlastný bod , ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
- Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.
Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred je nevlastný bod, tak perspektívna kolineácia je osová afinita.
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.
Otvorte si krokované riešenie Tu.
Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.
- Zvolíme si rovinu , do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín .
- Os kolineácie , stred kolineácie a zodpovedajúce si body premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny .
- Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
- Stred kolineácie je rovnobežným priemetom stredu , podobne body sú priemety bodov .
- Dvojicu odpovedajúcich si bodov nazývame kolineárne združené body.
- Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom , osou a dvojicou odpovedajúcich si bodov . V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie .
Cvičenie.
Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou
- nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
- má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
- má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.
Kruhová inverzia
Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod
, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.
Definícia.
V Möbiovej rovine je daná kružnica . Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici je zobrazenie, ktorého obrazom
V Möbiovej rovine je daná kružnica . Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici je zobrazenie, ktorého obrazom
Poznamenajme, že
Z bodu zostrojíme dotyčnicu kružnice , bod dotyku označme . Z bodu zostrojíme kolmicu na priamku , päta tejto kolmice je hľadaný obraz . Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice .
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).
- ak bod je obrazom bodu , potom je aj bod obrazom bodu , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
- body na kružnici sú samodružné;
- bod ležiaci vo vnútri kružnice sa zobrazí na vonkajší bod a naopak. Konštrukcia obrazu ľubovoľného bodu a a je založená na Euklidovej vete o odvesne.
Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.
Z bodu zostrojíme dotyčnicu kružnice , bod dotyku označme . Z bodu zostrojíme kolmicu na priamku , päta tejto kolmice je hľadaný obraz . Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice .
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).
Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla . Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla . Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".
Dôkaz.
Z definície kruhovej inverzie vyplýva
Obr. Konformné zobrazenie
Teda trojuholníky majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety podobné.
Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie sa zobrazujú opäť na túto priamku.
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie sa zobrazujú opäť na túto priamku.
applet
Obr. Obraz priamky
Obr. Obraz priamky
Dôkaz
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod leží na kolmici k polpriamke . Zrejme platí
,
lebo trojuholníky sú podobné. Uhol pri vrchole je pravý, preto bod je zrejme bodom Thálesovej kružnice.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod leží na kolmici k polpriamke . Zrejme platí
,
lebo trojuholníky sú podobné. Uhol pri vrchole je pravý, preto bod je zrejme bodom Thálesovej kružnice.
Dôsledky.
- Obrazom priamky , ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica prechádzajúca stredom .
- Obrazom kružnice prechádzajúcej stredom inverzie je priamka, ktorá neprechádza stredom inverzie.
- Samodružnými bodmi sú body určujúcej kružnice .
- Samodružnými priamkami sú priamky prechádzajúce stredom inverzie.
- Samodružné kružnice sú tie, ktoré ortogonálne pretínajú určujúcu kružnicu. Dôkaz si môžete pozrieť v práci [JAN].
Dôkazy týchto dôsledkov sa opierajú o involútornosť kruhovej inverzie.
Tvrdenie (Obraz kružnice neprechádzajúcej stredom ).
Obrazom kružnice, ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica.
Obrazom kružnice, ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica.
Poznámka.
Z obrázku "Obraz kružnice" je zrejmá jedna typická ale často opomínaná vlastnosť kruhovej inverzie:
Obrazom stredu kružnice nie je stred kružnice .
Z obrázku "Obraz kružnice" je zrejmá jedna typická ale často opomínaná vlastnosť kruhovej inverzie:
Obrazom stredu kružnice nie je stred kružnice .
Apolloniova úloha.
Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa troch geometrických útvarov: bodu - , priamky - , kružnice - .
Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa troch geometrických útvarov: bodu - , priamky - , kružnice - .
- Existuje celkove desať možných kombinácií. Napr. znamená zostrojiť kružnicu, ktorá prechádza bodom a dotýka sa dvoch priamok. Dotyk s bodom znamená incidenciu s ním.
- Najjednoduchšie prípady nastanú, keď sú dané tri body alebo tri priamky; tieto prípady vyriešil Euklides vo svojich Základoch. Apolloniove úlohy patria dodnes k najpríťažlivejším úlohám syntetickej geometrie.
Historické poznámky.
- O dotyku kružníc údajne písal už Archimedes. Jeho spis sa však nezachoval. Taktiež sa nezachoval dvojzväzkový pôvodný spis Apollonia z Pergy (262?-190? pred n. l.) „O dotykoch".
- Zmienil sa o ňom Pappos okolo roku 320, podľa ktorého Apollonios vyriešil všetky úlohy s výnimkou prípadu troch kružníc.
- Úlohu s tromi kružnicami riešil ako prvý F. Viete (1540-1603) v spise „Apollonius Gallus" (Paríž, r. 1600). V riešení použil stredy rovnoľahlosti troch kružníc.
- Vo všeobecnom prípade je osem výsledkov. Ak sa dané tri kružnice navzájom dotýkajú, riešenia sú dve (tzv. Soddyho kružnice).
Metódy riešenia Apolloniovej úlohy
Literatúra
- [BEC] Bečvár J., Bečvářová M., Vymazalová H.(ed.), Matematika ve starověku Egypt a Mezopotámie. Prometheus, Praha 2003. Dostupné Tu.
- [CAS] Castellanos,J., NonEuclid: Interactive Javascript Software for Creating Straightedge and Collapsible Compass Constructions in the Disk Model of Hyperbolic Geometry. Dostupné Tu.
- [CIZ] Čižmár, J., Euklides Základy. Perfekt 2022. ISBN 9788082260314.
- [DAV]Davidová, E., Řešení planimetrických konstrukčních úloh. Ostrava 2005. Dostupné Tu.
- [DRA] Drábek K., Harant F., Setzer O.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.
- [EUC] Euklidove Základy., Elektronická - verzia (angl.). Dostupné Tu.
- [GRE] Greenberg, M., Euclidean and non-Euclidean geometries. Third. Development and history. W. H. Freeman and Company, New York, 1993. Dostupné Tu. Stiahnuté PDF Tu.
- [HIL] Hilbert, D., Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie). 1899. Dostupné Tu.
- [HIT] Hitchman, M. P., Geometry with an Introduction to Cosmic Topology. Oregon, USA 2018. Dostupné Tu.
- [HYP] Hyperbolic Geometry, Part III. Dostupné Tu. Stiahnuté PDF Tu.
- [CHAL] Chalmovianská, J., Geometria 2 (pre študentov učiteľstva matematiky). Dostupné Tu.
- [CHRI] M. Christersson, M., GeoGebra Constructions in the Disc. Dostupné Tu.
- [JAN]Janyška, J.: Geometrické zobrazení. Skriptá Brno 2022. Dostupné Tu.
- [JOY] Joyce, D.E., Euclid's Elements, 1994. Dostupné Tu.
- [KRI] Križalkovič, K., Cuninka, A., Šedivý, O.: 500 riešených úloh z geometrie. 2. vyd. Bratislava: Alfa, 1972. Polytechnická knižnica.
- [LAR] Larson, Loren C., Problem-Solving Through Problems. Springer-Verlag New York Inc. 1983. ISBN: 978-0-387-96171-2. Dostupné Tu.
- [LUK] Lukáč, S., Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov. Matematika – fyzika – informatika 23 2014.
- [MAN] Manthey, J., GeoGebra Tools for Poincare Disk. Dostupné Tu.
- [MON] Monoszová, G., Planimetria. Dostupné Tu.
- [PLI] Plichtová, Petra., Webová aplikace pro výuku osové afinity a středové kolineace. Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, DP, 2023. Dostupné Tu.
- [RUM] Rumanová,L., Vallo,D: Geometria – vybrané kapitoly. FPV UKF v Nitre, 2009. ISBN: 978-80-8094-567-1.
- [SKL] Sklenáriková, Z.: K metódam riešenia Apolloniovej úlohy. Matematika v proměnách věků. III. Praha, 2004.
- [SED] Šedivý, O., Vallo, D., Základy elementárnej geometrie. FPV UKF v Nitre, 2009. ISBN : 978-80-8094-623-4.Dostupné Tu.
- [SER] Servít, F., Eukleidovy Základy (Elementa). JČM, Praha, 1907. Dostupné Tu.
- Ukážka funkčného modelu "The hyperbolic plane" Tu, ktorý je prevzatý zo stránky TH .
- [VAL, 2005] Vallo, D.,Geometria perspektívnych trojuholníkov. FPV UKF v Nitre,2005, str.9. ISBN : 80-8050-825-9. Dostupné Tu.
- [VAL, 2016] Vallo, D., Metodika konštrukčných úloh z geometrie v prostredí DGS. UKF Nitra 2016. Dostupné Tu.
- [VAL, 2021] Vallo, D., Koncepcia výučby geometrie podporovanej implementáciou dynamických geometrických programov. Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre. FPV Nitra, 2021. Stiahnuté PDF Tu.
- [VIN] Vinkler, M., Materiály v prostredí GeoGebra. Dodtupné Tu.
- ŽILKOVÁ, K. Dilemy v tvorbe e-kurzu Manipulačná geometria. In: Matematika v primárnej škole - rôzne cesty, rovnaké ciele. Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, 2013. ISBN 978-80-555-0765-1, s. 276-280.