Afinné zobrazenie

Všeobecne dimenzie

Úvod ku kapitole
V tejto časti rozširujeme predchádzajúci postup na všeobecný prípad zobrazenia n-rozmerného simplexu. Namiesto konkrétnych súradníc bodov používame všeobecné symboly a predpokladáme lineárnu nezávislosť bodov. Tento prístup umožní čitateľovi pochopiť jednotnú štruktúru riešenia vo všetkých dimenziách – od roviny až po priestor n-rozmerný. Vhodné je predstaviť si tieto body ako vrcholy trojuholníka, štvorstena či vyšších analogických útvarov.
Nech \small \mathbb E_r, \mathbb E_s sú euklidovské podpriestory priestoru \small \mathbb E_n a zobrazenie
f: \small \mathbb E_r \rightarrow \mathbb E_s
je afinné zobrazenie podpriestoru \small \mathbb E_r do podpriestoru \small \mathbb E_s .
Zvoľme si ľubovoľný bod \small P[x_1,x_2, ..., x_r] \in \mathbb E_r , ktorý je lineárneárnou kombináciou bodov
\small A_1[a_{11},...,a{1r}], A_2[a_{21},...,a_{2r}],...,A_r[a_{r1},...,a_{rr}], A_{r+1}[a_{{r+1},1},...,a_{{r+1},r}] .
V takom prípade musia existovať reálne čísla \small \alpha_1, ..., \alpha_r
(1) \small P=\alpha_1 \cdot A_1+...+\alpha_{r+1} \cdot A_{r+1}
\small 1=\alpha_1 + \alpha_2+... +\alpha_{r+1} .
Nech bod \small P'[x'_1,x'_2, ..., x'_s] je obraz bodu \small P[x_1,x_2, ..., x_{r+1}] v zobrazení f: \small \mathbb E_r \rightarrow \mathbb E_s . Zobrazenie \small f je lineárne, preto pre obraz \small P' bude platiť
(2) \small P'=f(P)=\alpha_1 \cdot A'_1+...+\alpha_{r+1} \cdot A'_{r+1} ,
\small 1=\alpha_1 + \alpha_2+... +\alpha_{r+1} .
Keďže bod \small P'[x'_1,x'_2, ..., x'_s] je bodom podpriestoru \small \mathbb E_s musí mať s súradníc ale je lineárnou kombináciou práve r+1 . Potom sústavu rovníc (1) a (2) môžeme vyjadriť v maticovom tvare 
\small P=M \times A=     \left(\begin{array}{ccc} a_{11}&...&a_{{r+1},1} \\ a_{12}&...&a_{{r+1},2} \\ ... \\ a_{1{r}}&...&a_{{r+1},r}\\1&...&1  \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc} \alpha_1 \\ \alpha_2\\ ... \\\alpha_r \\\alpha_{r+1} \end{array}\right) .

\small P'=M' \times A =\left(\begin{array}{ccc} a'_{11}&...&a'_{{r+1},1} \\ a'_{12}&...&a'_{{r+1},2} \\ ... \\ a'_{1{s}}&...&a'_{{r+1},s}\\1&...&1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc} \alpha_1 \\ \alpha_2\\ ... \\\alpha_r \\\alpha_{r+1} \end{array}\right) .

Po vyjadrení \small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P z prvej maticovej rovnice a po dosadení do druhej dostaneme riešenie
\small P'=M' \times M^{-1} \times P.
Poznámka.
Výsledná matica \small P′ má zrejme rozmer \small s \times (r+1) , teda bod \small P′ má \small s súradníc!
\( .\)