Planimetria a stereometria

Definícia.
Konvexný štvoruholník, ktorý je vpísaný do kružnice, sa nazýva tetivový štvoruholník. Štvorec, obdĺžnik, rovnoramenný lichobežník sú zvláštne prípady tetivových štvoruholníkov. 

Obr. Tetivový štvoruholník. 

Veta.
Nutná a postačujúca podmienka na to, aby daný konvexný štvoruholník $\small ABCD$ bol tetivový, je:
súčet protiľahlých uhlov je 180°.

Dôkaz (obr. Tetivový štvoruholník)

1. Uhol $\small \beta=\angle ABC$ je obvodový nad jedným z oblúkov $\small AC$ kružnice $\small k$, ktorá je opísaná štvoruholníku $\small ABCD$. Protiľahlý uhol $\small \delta =\angle ADC$ je obvodový nad druhým oblúkom $\small AC$. Preto platí:
   $\small \beta+ \delta = 180^\circ$.
   O druhých dvoch uhloch $\small \alpha, \gamma$ platí potom nevyhnutne to isté.
   Majme obrátene štvoruholník $\small ABCD$, o ktorého protiľahlých uhloch $\small \alpha, \gamma$ platí:
   $\small \alpha+ \gamma = 180^\circ$.
   Trojuholníku $\small ABD$ opíšeme kružnicu $\small k$. Uhol $\small \alpha=\angle BAD$ je v nej obvodovým uhlom nad oblúkom $\small BD$. Obvodový uhol nad druhým oblúkom $\small BD$ má veľkosť $\small 180° − α = γ$, a preto vrchol $\small C$ je nutne bodom tohto druhého oblúka. To však znamená, že štvoruholník $\small ABCD$ je tetivový.

Veta (Ptolemaiova veta).
O uhlopriečkach $\small e, f$ tetivového štvoruholníka $\small ABCD$ platí tzv.:
$\small ef = ac + bd$,
kde $\small a, b, c, d$ sú dĺžky strán uvažovaného štvoruholníka.

Dôkaz (obr. Tetivový štvoruholník)
Nech je daný tetivový štvoruholník ABCD a označme $\small AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, AC = e, BD = f$ a uhly pri vrcholoch $\small A, B, C, D$ postupne $\small α, β, γ, δ$.
Na trojuholníky $\small ABD, BCD$ aplikujeme kosínusové vety:
(1)$\small f² = a² + d² - 2ad· \cos (α)$,
(2)$\small f² = b² + c² − 2bc·\cos(γ)$.
Keďže však $\small γ = 180° − α$, druhá rovnica sa mení na:
$\small f² = b² + c² + 2bc·\cos(α)$.
Vylúčením $\small cos(α)$ z rovníc (1) a (2) dostaneme:
(3)$\small f²(ad + bc) = (ab + cd)(ac + bd)$.
Podobným spôsobom z trojuholníkov ABC a ACD dostaneme:
(4)$\small e²(ab + cd) = (ad + bc)(ac + bd)$.
Vynásobením rovníc (3) a (4) získame Ptolemaiovu vetu.

Poznámka (Použitie).

Ptolemaiov vzorec môže byť východiskom na odvodenie mnohých ďalších vzorcov rovinného geometrie. Ako dôkaz tohto tvrdenia odvodíme vzorec pre:
(5)$\small \sin(α + β)$, ak sú uhly $\small α, β$ a ich súčet ostré.
Narysujme tetivový štvoruholník $\small ABCD$ tak, že uhlopriečka $\small AC$ je priemerom opísanej kružnice.
Označme $\small ∠CAD = α, ∠CAB = β$ a položme $\small AC = 1$.

Obr. Pravouhlý tetivový štvoruholník. Applet si otvoríte Tu.

Potom z pravouhlého trojuholníka $\small ACD$ získame:
(i)$\small \sin(α) = CD / AC = CD$, $\small \cos(α) = AD$.
Z pravouhlého trojuholníka $\small ACB$:
(ii)$\small \sin(β) = BC / AC = BC$, $\small \cos(β) = AB$.

Nech pre bod $\small P$ platí, že je $\small BP$ priemer kružnice. Potom (pre obvodové uhly)  platí $\small \gamma= ∠BPD = ∠BAD = α + β$,
(iii)$\small \sin(α + β)=\sin( \gamma ) = BD / BP = BD / 1= BD$.
Pre štvoruholník platí Ptolemaiova veta $\small AC · BD = AB · CD + BC · AD$. Dosadením z rovníc (i), (ii), (iii) dostaneme:
$\small \sin(α + β) = \sin(α) · \cos(β) + \sin(β) · \cos(α)$,
čo je žiadaný vzorec.