Archimedes Meranie kruhu

Kruh cvičenie

Úlohy pre študentov gymnázií, ktoré ilustrujú geometrické princípy, ktoré Archimedes použil. Tu sú štyri úlohy, ktoré by im mohli pomôcť pochopiť túto metódu:

Určenie obvodu pravidelného mnohouholníka vpísaného do kruhu.
Cieľ: Študenti pochopia, ako Archimedes používal mnohouholníky na určenie obvodu kruhu.
Zadanie: Obvod n-uholníka.
  • Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník \small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 3 do daného kruhu kruhu \small k(S,r=1) . Počet vrcholov \small n zadávajte pomocou posuvníka. Vypočítajte jeho obvod \small O_U ako n-násobok veľkosti strany \small A_1A_2 a porovnajte ho s obvodom kruhu, ktorý dnes určíme pomocou vzorca \small O_k=2 \pi r. Zadanie Tu.
  • Potom zväčšujte počet strán mnohouholníka (napr. dvanásťuholník, dvadsaťšesťuholník atď.) a opäť vypočítajte obvod.
  • Určte podiel \frac{O_u}{2r} a porovnajte so známym aproximovanou hodnotou \small \pi (3,14159) a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.
Výpočet obsahu vpísaného mnohouholníka.
Cieľ: Získanie predstavy o tom, ako Archimedes odhadoval hodnotu \small \pi pomocou obsahu vpísaného mnohouholníka.
Zadanie: Obsah štvorca, šesťuholníka a osemuholníka, ktoré sú vpísané do kruhu. Vypočítajte ich obsahy pomocou obsahu stredového trojuholníka \small SA_1A_2 .
  • Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník \small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 4 do daného kruhu kruhu \small k(S,r=1) . Počet vrcholov \small n zadávajte pomocou posuvníka. \small S_k=\pi r^2. Zadanie Tu.
  • Potom zväčšujte počet strán na dvojnásobok ( osemuholník, šestnásťuholník atď.) a opäť vypočítajte obsah.
  • Porovnajte vaše výsledky so známym výsledkom pre obsah kruhu \small \pi r^2 a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.
Aplikácia Archimédovej metódy na n-uholníky (všeobecne).
Cieľ: Rozšíriť pochopenie Archimedovej metódy a uplatniť ju na rôzne mnohouholníky.
Zadanie: Vypočítajte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka n-uholník \small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 6 ak poznáte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka 2n-uholník \small U_2=A_1A_2 \dots A_2n .

Otvorte si applet Tu.
Porovnajte vaše výsledky s výsledkom v práci (BEC, 2012) str.51 a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Po vyriešení týchto úloh môžu študenti diskutovať o tom, ako Archimedes začal s jednoduchými mnohouholníkmi a postupne zlepšoval svoj odhad pomocou stále presnejších metód. Týmto spôsobom študenti pochopia aj historický kontext a postupnosť vývoja matematických metód.

Výpočty s využitím súčasných znalostí si môžete pozrieť Tu.
\( .\)