Jordanova miera

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Planimetria a stereometria
Kniha:	Jordanova miera

Vytlačil(a):	Guest user
Dátum:	štvrtok, 4 júna 2026, 15:23

Obsah

Topologické pojmy
Miera (dĺžka) úsečky
Miera rovinného útvaru
Archimedes Meranie kruhu
- Kruh cvičenie
Seminárne cvičenie

Topologické pojmy

Základné topologické pojmy - definície (Spracované podľa práce [1])

Nech

$Z$ je základná množina, bod

$A ∈ Z$ ,

$\delta$ je ľubovoľne zvolená nenulová úsečka. V priloženom applete množina

$Z$ je pravidelný 7-uholník. Okolie bodu

$A$ (presnejšie

$\delta$ -okolie bodu

$A$ ) je množina všetkých bodov

$X \in Z$ , pre ktoré platí, že úsečka

$AX$ je menšia ako

$\delta$ .

$O_Z(A; \delta) := \lbrace{X \in Z; AX \lt \delta}\rbrace$

Nech $U$ je podmnožina množiny $Z$ ( $U \subset Z$ ). Množina sa nazýva ohraničená množina, ak existuje taký bod v a také jeho $\delta$ −okolie, pre ktoré platí, že $U$ je jeho podmnožinou. V priloženom applete množina $U$ je nekonvexný 7-uholník.

applet

Nech

$U$ je podmnožina množiny

$Z$ (

$U \subset Z$ ). Bod nazývame

vnútorným bodom množiny , ak existuje také jeho $\delta$ -okolie, ktoré je podmnožinou množiny $U$ .
vonkajším bodom množiny , ak existuje také jeho $\delta$ -okolie, ktorého prienik s množinou $U$ je prázdna množina.
hraničným bodom množiny ak pre každé jeho $\delta$ -okolie platí, že obsahuje aspoň jeden bod množiny $U$ a aspoň jeden bod, ktorý jej nepatrí.

Hranica množiny

$U$ je množinu všetkých jej hraničných bodov.

Budeme hovoriť, že množina je

uzavretá, ak každý jej hraničný bod jej patrí
otvorená, ak aspoň jeden hraničný bod jej nepatrí.

Dve množiny budeme nazývať neprekrývajúce sa, ak ich prienik neobsahuje žiaden vnútorný bod ani jednej z týchto množín.

Úlohy

Daná je množina $M: \triangle ABC - (AB \cup AC \cup D)$ . Zistite, či množina $M$ je uzavretá alebo otvorená. Vyznačte hranicu množiny $M$ , ak základnou množinou je
1. $\overleftrightarrow{ABC}$
2. $\overrightarrow{BCA}$

Otvorte si zadanie Tu

Daný je štvorec $ABCD$ . Určte hranicu množiny $\overrightarrow{ABC} ∩ \overrightarrow{CDA}- AD$ , ak základnou množinou je
1. $\overleftrightarrow{ABC}$
2. $\overrightarrow{ABC}$ .
  Otvorte si zadanie Tu

_________________________________________________________________________________________
[1] Monoszová, G.: Planimetria - pomocný text ku prednáškam. Dostupné na: https://www.fpv.umb.sk/app/cmsFile.php?disposition=a&ID=20245

$$ .$ $

Miera (dĺžka) úsečky

Jordanova teória miery – Camill Jordan (1838 – 1922)

Úsečku určenú bodmi $A,B$ budeme označovať symbolom $AB$ . Mieru (dĺžku) úsečky $AB$ budeme označovať symbolom $\left| AB\right|$ .
Pri meraní a určovaní dĺžky úsečky je nutné poznať konštrukciu prenášania úsečky $AB$ na danú polpriamku (Euklidove Základy, Kniha I, Tvrdenie 2) alebo^[1].
Na určenie miery úsečky budeme potrebovať Archimedovu axiómu, ktorá je axiómou spojitosti Hilbertovho axiomatického systému.
Vo všeobecnosti môžeme určiť dĺžku ľubovoľného jedno-rozmerného útvaru (1D). Napríklad čiara patrí do (1D), pretože na určenie bodu na nej je potrebný len jeden parameter/rozmer.

Archimedova axióma ^[2]
Nech sú dané dve úsečky

$AB,CD$ . Na polpriamke

$\overrightarrow{AB}$ zostrojíme navzájom rôzne body

$P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot$ také, že

$AP_1 \simeq P_1P_2 \simeq \cdot \cdot \cdot \simeq P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \simeq CD$ .
Potom existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $P_n \in AB$ a $P_{n+1} \notin AB$ .

_________________________________________________________________________________________
[1] Šedivý, O., Vallo, D.: Základy elementárnej geometrie. FPV UKF v Nitre 2009, str. 9. Dostupné na internete Tu.
[2] Viac o Archimedovi si pozrite Tu.

$$ .$ $

Určovanie dĺžky úsečky

Tvrdenie.
Pri prenášaní jednotkovej úsečky

$e= CD$ na polpriamku

$\overrightarrow{AB}$ podľa Archimedovej axiómy môžu nastať dva prípady:

Úsečka je celočíselným násobkom jednotkovej úsečky , hovoríme, že
jednotková úsečka $e$ a meraná úsečka $u$ sú súmerateľné.
Meraná úsečka $a$ nie je celočíselným násobkom jednotkovej úsečky $e$ (Úsečka $e$ a meraná úsečka $u$ nie sú súmerateľné).

Postup merania.

Na polpriamku $\overrightarrow{AB}$ nanášame jednotkovú úsečku $e=CD$ dokiaľ bude platiť $CD \subset AB$ - situáciu znázorňuje applet na červenej polpriamke.
Podľa Archimedovej axiómy existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $P_n \in AB$ a bod $P_{n+1} \notin AB$ .
V prednastavenom applete je $P_n =2$ a $P_{n+1} =3$

Veľkosť (miera) meranej úsečky

$u=AB$ bude zdola ohraničená počtom nanesených jednotkových úsečiek a zhora to bude číslo o 1 väčšie. V applete pohybuj posuvníkom

$d$ a sleduj ako sa mení ohraničenie miery úsečky

$AB$ .

Ak chceme meranie spresniť, rozdelíme jednotkovú úsečku na 10 zhodných častí (hovoríme, že zjemňujeme jednotkovú úsečku v desiatkovej číselnej sústave). Postup uvedený pod bodom 1 opakujeme pre jednotkovú úsečku

$\frac{e}{10}$ a polpriamku

$\overrightarrow{A'B_1}$ , pričom bod

$A'=P_n, B_1=B$ je posledný krajný bod nanášanej úsečky

$e$ .

$$ .$ $

_________________________________________________________________________________________
[1] Literatúra Dostupné na: ...

Zjemnenie merania

Druhá fáza merania - zjemňovanie jednotkovej úsečky

Postup merania.

Jednotkovú úsečku rozdelíme na 10 zhodných častí. "Nová" jednotková úsečka bude mať veľkosť $e/10=e_1$ (zjemnili sme jednotkovú úsečku na desatinu).
Na polpriamku nanášame "novú" jednotkovú úsečku $e_1$ , kde bod $A'$ je posledný bod z predchádzajúceho merania (nanášania úsečky $e=CD$ ). V prednastavenom applete je to bod označený číslicou 2. V applete je to na polpriamke v strede.
Nanášame dokiaľ bude platiť $e_1 \subset AB$ - situáciu znázorňuje applet na spodnej polpriamke. V prednastavenom applete je to bod označený desatinným číslom 2.7.

Veľkosť (miera) meranej úsečky bude zdola ohraničená počtom nanesených jednotkových úsečiek plus $\frac{a_1}{10}$ , kde $a_1$ je počet nanesených nových jednotkových úsečiek $e_1$ .
Zhora to bude číslo o $\frac{1}{10} =0,1$ väčšie. V applete pohybuj posuvníkom $d$ a sleduj ako sa mení ohraničenie miery úsečky $AB$ .
Ak chceme meranie spresniť, rozdelíme "novú" jednotkovú úsečku $e_1$ opäť na 10 zhodných častí (zjemňujeme na $\frac{1}{100}$ ). Postup uvedený opakujeme dovtedy, kým nedosiahneme požadovanú presnosť. Výsledkom bude zrejme reálne číslo vyjadrené desatinnom tvare.

Definícia.
Ak desatinný rozvoj nájdeného reálneho čísla je

konečný resp. periodický - úsečky $a$ a $e$ sú súmerateľné, alebo
nebude konečný ani periodický - úsečky budú nesúmerateľné.

Príkladom dvojice nesúmerateľných úsečiek sú strana štvorca a uhlopriečka tohto štvorca.

$$ .$ $

Definícia miery úsečky

Dĺžka úsečky (veľkosť úsečky) je nezáporné reálne číslo, ktoré zisťujeme meraním.
Meranie je proces, pri ktorom porovnávame úsečku s tzv. jednotkovou úsečkou. Jednotková úsečka je úsečka, ktorej veľkosť je 1.
Miera úsečky je každé zobrazenie množiny

$M$ všetkých úsečiek do množiny všetkých nezáporných reálnych čísel s vlastnosťami, ktoré sú uvedené v nasledovnom odseku.

Definícia - miera/dĺžka úsečky
Nech

$M$ je množina všetkých úsečiek. Funkciu, ktorá má nasledujúce tri vlastnosti

Pre každú úsečku platí, že $f(a) \geq 0$
Ak $a, b$ sú dve zhodné úsečky, tak $f(a) = f(b)$
Ak $a + b$ je grafický súčet úsečiek $a, b$ , tak $f(a + b) = f(a) + f(b)$

nazývame miera úsečky.

Poznámky

Z definície a prvej vlastnosti vyplýva, že každej úsečke prislúcha jediné kladné číslo, ktoré je jej dĺžkou.
Dĺžka úsečky nezávisí od jej polohy.
Jednotková úsečka má dĺžku 1.

Definície - vzdialenosť dvoch útvarov

Pod vzdialenosťou dvoch bodov rozumieme dĺžku úsečky, pre ktorú spomínané body sú jej krajnými bodmi.
Pod vzdialenosťou bodu $B$ od množiny $U$ rozumieme minimum zo všetkých možných dĺžok $|BX|$ , kde $X \in U$
$d(B, U) := min \lbrace{|BX|; X \in U}\rbrace$
Pod vzdialenosťou množín $U1, U2$ rozumieme minimum zo všetkých možných dĺžok $|XY |$ , kde $X \in U_1 ,Y \in U_2$
$d(U_1, U_2) := min \lbrace{|XY|; X \in U_1 \wedge Y \in U_2 }\rbrace$ .

Cvičenia.

Je daná úsečka $KL$ . Zostrojte trojuholník $ABC$ , ktorého strany majú veľkosť: $a=\left| KL\right| , b=\frac{4}{3}\left| KL\right| , c=\frac{5}{3}\left| KL\right|$ . Úlohu vyriešte v Euklidovskej rovine.
Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 3 rovnaké časti.
Je daná úsečka $AB$ . Zostrojte trojuholník $ABC$ , ktorého strany majú veľkosť: $a=\frac{3}{2}\left|AB\right| , b=2\left| AB\right| , c= AB$ . Úlohu vyriešte v Poincare Disc.
Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 2 rovnaké časti.

$$ .$ $

Miera v Poincare Disku

Nech

$A, B$ sú ľubovoľné dva body patriace Poincare Disc. Hyperbolickú hPriamku

$AB$ označíme

$l$ a "nevlastné" koncové body tejto priamky pomocou

$P,Q$ .
Tieto body pomenujeme tak, aby platilo

$P ∗ B ∗ A ∗ Q$ .

Nech A, B, P, Q sú navzájom rôzne kolineárne body také, že platí

$P ∗ B ∗ A ∗ Q$ .
Dvojpomer usporiadanej štvorice bodov

$A, B, P, Q$ je podiel deliacich pomerov

$(ABP)$ a

$(ABQ)$ ; (dvojpomer takejto štvorice bodov

$A, B, P, Q$ označujeme

$(ABPQ)$ ).
$(ABPQ) := \frac{(ABP)}{(BAQ)}$

Príklad

Otvorte applet Tu

Úlohy

Zostrojte body na osi $x$ : $OL_i=a$ .
Applet
Zostrojte kružnicu (prípadne aj nástroj na jej zostrojenie) určenú stredom a daným polomerom (číslom). Prázdny výkres Tu.

$$ .$ $

Miera rovinného útvaru

Rovinný útvar, ktorý je ohraničený a jeho hranica je jednorozmerný útvar sa nazýva merateľný útvar.
Množinu všetkých merateľných útvarov budeme označovať symbolom $\mathcal{M}$ .

Funkcia

$f : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}_0^+$ s vlastnosťami

existuje útvar $\mathcal{U}_0 \in \mathcal{M} : f(\mathcal{U}_0) = 1$
pre ľubovoľné útvary $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2 \in \mathcal{M} : (\mathcal{U}_1 \simeq \mathcal{U}_2 \Rightarrow f(\mathcal{U}_1) = f(\mathcal{U}_2))$
pre neprekrývajúce sa útvary $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2 \in \mathcal{M}$ platí $f(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2)=f(\mathcal{U}_1) + f(\mathcal{U}_2)$

sa nazýva miera rovinného útvaru.

Útvar

$\mathcal{U}_0$ nazývame jednotkový útvar alebo jednotka miery.
Hodnotu

$f(\mathcal{U})$ , ktorú funkcia

$f$ priradí útvaru

$\mathcal{U}$ , nazývame veľkosť’ útvaru

$\mathcal{U}$ .
Veľkosť’ rovinného útvaru často nazývame aj obsah útvaru (bežne pre obsah útvaru

$\mathcal{U}$ používame namiesto,

$f(\mathcal{U})$ označenie

$S( \mathcal{U})$ .

$$ .$ $

_________________________________________________________________________________________
[1] Literatúra Dostupné na: ...

Jadro a obal útvaru

Štvorcová sieť $S_e$ v euklidovskej rovine je systém navzájom rovnobežných priamok

$a_n\in E_2$ a kolmých priamok

$b_m \perp a_n$ .

$S_e= \lbrace{(a_i \parallel a_j) \wedge (a_i \perp b_i); i,j=1,2, \cdot \cdot \cdot }\rbrace$ ,
pričom platí, že vzdialenosť navzájom rovnobežných priamok je rovná veľkosti úsečky

$e$ . Rozmer štvorcovej siete je číslo $\left| e \right|$ .

Otvor applet Tu

Nech

$U$ je merateľný útvar v

$E_2$ umiestnený do štvorcovej siete.

Zjednotenie tých štvorcov štvorcovej siete, ktoré sú podmnožinou daného útvaru, nazývame jadro útvaru, označenie $J$ .
Zjednotenie tých štvorcov štvorcovej siete, pre ktoré platí, že ich prienik s útvarom obsahuje aspoň jeden jeho vnútorný bod, nazývame obal útvaru, označenie $O$ .

Nech

$U$ je útvar umiestnený v štvorcovej sieti, nech

$J$ je jadro a

$O$ je obal útvaru

$U$ . Potom zrejme

$J \subset O$ a teda platí
$S(J ) \leq S(U) \leq S(O)$

$$ .$ $

Jordanova teória miery

Veta: Nech

$f$ je funkcia miery a nech

$U_1,U_2$ sú merateľne útvary. Ak

$U_1\subset U_2$ , tak

$f( \mathcal{U_1}) \leq f( U_2)$ .

Princíp merania merateľných útvarov v

$E_2$ pomocou tzv. Jordanovej teórie miery.

Základom pre Jordanovu teóriu miery je pevne zvolená štvorcová sieť $S_e$ určená jednotkovou úsečkou $e$ .
Jednotkou miery bude jeden štvorec (označenie $E$ ) zvolenej siete. Jeho obsah $S(E)$ určíme definitoricky vzťahom $S(E) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^2$ .

Otvor Tu

Obsah (veľkosť) meraného útvaru

$U$ pri zvolenej jednotke

$E$ budeme označovať

$S_E( U )$ , prípadne len

$S(U )$

Pomocou Jordanovej metódy môžeme odhadnúť obsah ohraničeného útvaru tak, že ho vhodne umiestnime do štvorcovej siete. Napr. pre rozmer

$e=1dm$ .

Spočítame všetky štvorčeky, ktoré patria jadru útvaru– to bude dolný odhad obsahu.
Potom spočítame všetky štvorčeky, ktoré obalu útvaru – to bude horný odhad obsahu.

Ak by nám takýto odhad nestačil, zmenšíme rozmer štvorcovej siete. Napr. zvolíme menšiu jednotkovú úsečku

$e_1=1cm$ .

$$ .$ $

Postup určenia obsahu útvaru

Pomocou Jordanovej metódy môžeme odhadnúť obsah ohraničeného útvaru

$U$ tak, že ho vhodne umiestnime do štvorcovej siete.

V prvom kroku merania (určovania obsahu útvaru) si zvolíme štvorcovú sieť

$S_{e_1}$ s rozmerom

$e_1$ . (Napríklad

$1 dm$ ).

Jednotka miery je štvorec so stranou $e_1$ a podľa dohovoru pre jeho veľkosť/obsah $S(E_1)$ platí $S(E_1)=(e_1)^2$ .
Určíme všetky štvorce, ktoré patria do jadra $J_1$
Nech $n_1$ je počet štvorcov siete, ktoré patria do jadra útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
$S(J_1)=n_1 \cdot (e_1)^2$
čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru.
Podobne postupujeme pri určovaní obsahu obalu. Spočítame všetky štvorce, ktoré patria obalu $O_1$ meraného útvaru $U$ .
Nech $m_1$ je počet štvorcov siete, ktoré patria do obalu útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
$S(O_1)=m_1 \cdot (e_1)^2$
čo predstavuje horný odhad obsahu meraného útvaru.
Po prvom meraní dôjdeme k záveru, že pre obsah $S(U)$ útvaru $U$ platí
$n_1 \cdot (e_1)^2 \leq S(U) \leq m_1 \cdot (e_1)^2$
čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru. Ak nám takýto odhad nestačí, zjemníme štvorcovú sieť.

V druhom kroku merania zvolíme menšiu jednotkovú úsečku

$e_2= \frac{1}{10} e_1 \Leftrightarrow e_1=10e_2$ . (Napríklad

$1cm$ ).

Teraz jednotka miery je štvorec $E_2$ , ktorý má 100 násobne menší obsah ako štvorec $E_1$ . Pre jeho obsah platí $S(E_2)=\frac{1}{100}e_1$ .
Zrejme platí, že každý štvorec z jadra $J_1$ obsahuje 100 menších štvorcov zjemnenej štvorcovej siete.

Tieto menšie štvorce určite patria do jadra $J_2$ , ktoré bolo vytvorené v zjemnenej sieti. Preto platí
$J_1 \subset J_2 \subset U \Leftrightarrow S(J_1) \leq S(J_2) \leq S(U)$
Analogické vzťahy platia aj pre obsah obalu:
$U \subset O_2 \subset O_1 \Leftrightarrow S(U) \leq S(O_2) \leq S(O_1)$ .
Z predchádzajúcich vzťahov a po $n$ krokoch zjemňovania siete dostaneme
$S(J_1) \leq S(J_2) \leq \cdot \cdot \cdot S(J_n) \leq \cdot \cdot \cdot \leq S(U) \leq \cdot \cdot \cdot \leq S(O_n) \cdot \cdot \cdot \leq S(O_2) \leq S(O_1)$ .

Potom zrejme postupnosť

${S(J_n)}^ \infty _{i=1}$ je neklesajúca, zhora ohraničená a postupnosť

${S(O_n)}^ \infty _{i=1}$ je nerastúca, zdola ohraničená. Členy postupnosti

${S(J_n)}^ \infty _{i=1}$ sú dolné ohraničenia a členy postupnosti

${S(O_n)}^ \infty _{i=1}$ sú horné ohraničenia veľkosti útvaru

$U$ a limity týchto postupností sa rovnajú hodnote

$S(U)$ .

$$ .$ $

Archimedes Meranie kruhu

Archimedov práca " Meranie kruhu" sa opiera o

exhaustívnu metódu, s pomocou ktorej Archimedes popísal pomer medzi obvodom a obsahom kruhu,
pomerne presnú aproximáciu konštanty označované dnes ako Ludolfovo číslo $\small \pi$ .

Exhaustívna metóda

V Euklidových Základoch je princíp exhaustívnej metódy vyjadrený v prvej vete 10. knihy. Exhaustívna metóda je systematický spôsob riešenia problémov, pri ktorom sa skúmajú možné prípady pomocou iterácií. Aj keď je metóda spoľahlivá, jej nevýhodou je časová a výpočtová náročnosť pri veľkom počte možností.

Veta (Upravený text Veta1 Kniha X, Základy, pozrite si interpretáciu Tu ).
Ak máme veličiny

$\small S, \normalsize\epsilon$ , pričom je

$\epsilon < \small S$ . Ak postupne od

$\small S$ odoberáme veličiny

$\small a,b,c$ , pričom

$\small a > \frac{S}{2}, \quad b > \frac{S - a}{2}, \quad c > \frac{S - a - b}{2}, \quad \dots$
potom je po určitom počte krokov}

$\small S - a - b - c - \dots - k < \varepsilon$ resp.

$\small a + b + c + \dots \to S$ .

Toto je moderná formulácia Eudoxovej exhaustívnej metódy, ktorú používal Eudoxos z Knidu a ktorú využil aj Archimedes pri výpočte obsahov a objemov.
Dôkaz (Pre obsah kruhu

$\small K$ využívaný Archimedom).

Odčítajme od obsahu $\small S_K$ kruhu $\small K$ obsah vpísaného štvorca.
Dostaneme menej ako polovicu obsahu kruhu $\small K$ .

Cvičenie (Pre žiakov gymnázií).
Dokážte toto tvrdenie.

Ak vpíšeme do štyroch vzniknutých kruhových výsekov prirodzeným spôsobom rovnoramenné trojuholníky, odčítame opäť viac ako polovicu obsahu týchto výsekov atď.
Od štvorca tak dôjdeme k pravidelnému osemuholníku, obdobným spôsobom k 16-uholníku atď.

Prvé dve iterácie v Archimedovom dôkaze: Pravidelný 4- uholník a 8-uholník. Otvorte si interaktívny applet Tu.

Ak tento postup dostatočne dlho opakujeme, priblížime sa obsahom pravidelného 2k-uholníka zdola akokoľvek blízko k obsahu kruhu $\small K$ .

Poznámky. (Význam vety a dôkazu)

Veta hovorí o postupnom priblížení k určitej veličine $\small S_K$ tak, že v každom kroku odoberáme viac ako polovicu zostávajúcej hodnoty.
V dôkaze sa táto metóda aplikuje na "obsah kruhu" tým, že postupne vpisujeme pravidelné mnohouholníky s rastúcim počtom strán.
Kľúčová myšlienka: Ak tento postup opakujeme dostatočne dlho, plocha pravidelného mnohouholníka sa môže priblížiť "ľubovoľne blízko" k obsahu kruhu.
Toto je v podstate predchodca moderného pojmu limity a integrálneho počtu.

Archimedov odhad.

Archimedes približne určil hodnotu Ludolfovho čísla

$π$ metódou vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky (vpísané aj opísané) a dospel k odhadu:

$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$
Otvorte si interaktívny applet Tu a nastavte hodnotu na

$\small n=96$ . Teda v desiatkovom zápise:
3,1408 <

$π$ < 3,1429,
čo predstavuje presnosť na dve desatinné miesta. V dnešnej terminológii vpísaných a opísaných regulárnych polygónov dosiahneme tieto hranice až pri hodnote

$\small n=157$ . Otvorte si interaktívny applet "Archimedes_ObsahObvodKruhu_Trivium" Tu a nastavte hodnotu na

$\small n=157$ .

Historický argument.

Archimedova metóda je popísaná v jeho diele „O meraní kruhu“ (Περὶ τοῦ κυκλίου μέτρου). Toto dielo sa zachovalo len čiastočne, ale jeho hlavná myšlienka sa dochovala v arabských a byzantských rukopisoch. Archimedes využil exhaustívnu metódu, ktorú prevzal od Eudoxa a ktorá je predchodcom infinitezimálneho počtu.
V diele postupne zdokonaľoval svoj odhad

$\small π$ zvyšovaním počtu strán mnohouholníkov, čím získaval čoraz presnejšie hodnoty. Originálny text, nájdete napríklad v:

[HEA] T. L. Heath: The Works of Archimedes (1897) – obsahuje preklady Archimedových spisov do angličtiny.
[BER] J. L. Berggren, J. M. Borwein, P. B. Borwein: Pi: A Source Book (2004) – podrobne opisuje históriu výpočtov π. Niektoré kapitoly tejto práce sú dostupné Tu.

V tejto práci v kapitole " Archimedes. Measurement of Circle" sa popisuje metóda aproximácie aproximácie čísla $\small π$ , ktorú použil Archimedes pri určovaní obsahu kruhu. Archimedes ohraničil hodnotu $\small π$ použitím vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky na získanie nasledujúcej aproximácie:

čo v desiatkovej sústave zodpovedá
$3.1408 < \pi < 3.1429.$
Použitie vpísaných a opísaných mnohouholníkov. (Pozrite si prácu (BER, 2004) strana 9 až 14., výber Tu.)
Archimedes začal s pravidelným šesťuholníkom vpísaným do kruhu. Postupne zvyšoval počet strán mnohouholníkov a aplikoval vzťahy medzi dĺžkami ich strán a polomerom kruhu. Výpočet prebiehal pomocou rekurentných vzorcov na výpočet dĺžok strán postupne jemnejšie rozdelených mnohouholníkov. Použil nasledovné vzťahy pre polovičné uhly v pravouhlých trojuholníkoch vznikajúcich pri delení strán mnohouholníka (pozrite prácu (BEC,2012) str. 51):
,
kde $\small n$ je dĺžka strany pravidelného $\small n$ -uholníka vpísaného do kruhu. Vo svojich výpočtoch Archimedes využil znalosti gréckej matematiky v oblasti určovania približných hodnôt rôznych iracionálych čísel. Napríklad v Measurement of Circle použil aproximáciu druhej odmocniny čísla 3:
$\frac{\sqrt{3}}{1} =\frac{265}{153}$ ,
ktorá určuje odmocninu z troch až na 4 desatinné čísla.

$$ .$ $

Kruh cvičenie

Úlohy pre študentov gymnázií, ktoré ilustrujú geometrické princípy, ktoré Archimedes použil. Tu sú štyri úlohy, ktoré by im mohli pomôcť pochopiť túto metódu:

Určenie obvodu pravidelného mnohouholníka vpísaného do kruhu.

Cieľ: Študenti pochopia, ako Archimedes používal mnohouholníky na určenie obvodu kruhu.
Zadanie: Obvod n-uholníka.

Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník $\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 3$ do daného kruhu kruhu $\small k(S,r=1)$ . Počet vrcholov $\small n$ zadávajte pomocou posuvníka. Vypočítajte jeho obvod $\small O_U$ ako n-násobok veľkosti strany $\small A_1A_2$ a porovnajte ho s obvodom kruhu, ktorý dnes určíme pomocou vzorca $\small O_k=2 \pi r$ . Zadanie Tu.
Potom zväčšujte počet strán mnohouholníka (napr. dvanásťuholník, dvadsaťšesťuholník atď.) a opäť vypočítajte obvod.
Určte podiel $\frac{O_u}{2r}$ a porovnajte so známym aproximovanou hodnotou $\small \pi (3,14159)$ a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Výpočet obsahu vpísaného mnohouholníka.

Cieľ: Získanie predstavy o tom, ako Archimedes odhadoval hodnotu

$\small \pi$ pomocou obsahu vpísaného mnohouholníka.
Zadanie: Obsah štvorca, šesťuholníka a osemuholníka, ktoré sú vpísané do kruhu. Vypočítajte ich obsahy pomocou obsahu stredového trojuholníka

$\small SA_1A_2$ .

Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník $\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 4$ do daného kruhu kruhu $\small k(S,r=1)$ . Počet vrcholov $\small n$ zadávajte pomocou posuvníka. $\small S_k=\pi r^2$ . Zadanie Tu.
Potom zväčšujte počet strán na dvojnásobok ( osemuholník, šestnásťuholník atď.) a opäť vypočítajte obsah.
Porovnajte vaše výsledky so známym výsledkom pre obsah kruhu $\small \pi r^2$ a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Aplikácia Archimédovej metódy na n-uholníky (všeobecne).

Cieľ: Rozšíriť pochopenie Archimedovej metódy a uplatniť ju na rôzne mnohouholníky.
Zadanie: Vypočítajte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka n-uholník

$\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 6$ ak poznáte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka 2n-uholník

$\small U_2=A_1A_2 \dots A_2n$ .

Otvorte si applet Tu.

Porovnajte vaše výsledky s výsledkom v práci (BEC, 2012) str.51 a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Po vyriešení týchto úloh môžu študenti diskutovať o tom, ako Archimedes začal s jednoduchými mnohouholníkmi a postupne zlepšoval svoj odhad pomocou stále presnejších metód. Týmto spôsobom študenti pochopia aj historický kontext a postupnosť vývoja matematických metód.

Výpočty s využitím súčasných znalostí si môžete pozrieť Tu.

$$ .$ $

Seminárne cvičenie

Riešte úlohy

Dané sú rôzne body $A,B,C$ . Určte množinu (šrafovaním)
Je daná úsečka $KL$ .
1. Zostrojte trojuholník $ABC$ , ktorého strany majú veľkosť: $a=\left| KL\right| , b=\frac{4}{3}\left| KL\right| , c=\frac{5}{3}\left| KL\right|$ . Úlohu vyriešte v Euklidovskej rovine.
  Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 3 rovnaké časti.
2. Je daná úsečka $AB=KL$ . Zostrojte trojuholník $ABC$ , ktorého strany majú veľkosť: $a=\frac{3}{2}\left|AB\right| , b=2\left| AB\right| , c= AB$ . Úlohu vyriešte v Poincare Disku.
  Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 2 rovnaké časti.
3. Je daná úsečka $AB=KL$ . Zostrojte trojuholník $ABC$ , ktorého strany majú veľkosť: $a=\frac{1}{2}\left|AB\right| , b=\frac{5}{4}\left| AB\right| , c= AB$ . Úlohu vyriešte v Poincare Disku.
Daný je pravidelný 6-uholník $ABCDEF$ so stredom $S$ a ďalej sú dané body $X, Y$ , pričom bod $X$ leží na polpriamke $\overleftarrow{FA}$ a zároveň platí $|XF|: |AF | =1:1$ . Bod $Y$ leží na polpriamke $\overleftarrow{BA}$ a zároveň platí $\mu(AYB)=-1$ . Určte vzdialenosti
Zadanie otvorte Tu
a. ♥ Daný je trojuholník $ABC$ a body $D,G$ tak, že bod je stred strany a , pričom $BG : DG = 3 : 2$ . Určte obsahy všetkých troch neprekrývajúcich sa častí, na ktoré je trojuholník $ABC$ rozdelený (otvorte si zadanie), ak pre obsah trojuholníka platí $S_{ABC} = 12$ .
Zadanie otvorte Tu .
b. ♥ Daný je trojuholník $ABC$ a body $D, E, F$ také, že $D \in AB$ , $E \in BC$ a $F \in AE$ , pričom $AD : BD = 1 : 4$ , $BE : CE = 2 : 1$ a $F$ je stred strany $AE$ . Určte obsahy všetkých štyroch vyznačených neprekrývajúcich sa častí, na ktoré je trojuholník $ABC$ rozdelený (otvorte si zadanie), ak pre obsah trojuholníka platí $S_{ABC} = 30$ .
Zadanie otvorte Tu .
Daný je pravidelný 6-uholník $ABCDEF$ s jednotkovým obsahom. Určte obsahy jednotlivých neprekrývajúcich sa útvarov, na ktoré je šesťuholník rozdelený. (Dané sú dve rozdelenia. Riešte pre každé rozdelenie samostatne.)

Zadanie otvorte Tu
Rozdeľte obdĺžnik na 4 neprekrývajúce sa trojuholníky, ktorých obsahy tvoria $\frac{3}{8}; \frac{1}{3}; \frac{1}{6}; \frac{1}{8}$ z obsahu obdĺžnika.
Odvoďte vzťah pre výpočet obsahu rovnostranného trojuholníka, ak je daný a) polomer $r$ jemu opísanej kružnice, b) polomer $\rho$ jemu vpísanej kružnice.
Odvoďte vzťah pre výpočet obsahu pravidelného 6-uholníka, ak je daný a) polomer $r$ jemu opísanej kružnice, b) polomer $\rho$ jemu vpísanej kružnice.
Vypočítajte obsah štvoruholníka, zadanie Tu.
♥ Vypočítajte obsah šesťuholníka, zadanie Tu.

$$ .$ $