Jordanova miera

Základné topologické pojmy - definície (Spracované podľa práce [1])

Nech $Z$ je základná množina, bod $A ∈ Z$, $\delta$ je ľubovoľne zvolená nenulová úsečka. V priloženom applete množina $Z$ je pravidelný 7-uholník.

1. Okolie bodu $A$ (presnejšie $\delta$-okolie bodu $A$) je množina všetkých bodov $X \in Z$, pre ktoré platí, že úsečka $AX$ je menšia ako $\delta$. $O_Z(A; \delta) := \lbrace{X \in Z; AX < \delta}\rbrace$
2. Nech $U$ je podmnožina množiny $Z$ ( $U \subset Z$). Množina $U$ sa nazýva ohraničená množina, ak existuje taký bod v $Z$ a také jeho $\delta$−okolie, pre ktoré platí, že $U$ je jeho podmnožinou. V priloženom applete množina $U$ je nekonvexný 7-uholník.
 applet
3. Nech $U$ je podmnožina množiny $Z$ ( $U \subset Z$). Bod nazývame
1. vnútorným bodom množiny $U$, ak existuje také jeho $\delta$-okolie, ktoré je podmnožinou množiny $U$ .
2. vonkajším bodom množiny $U$, ak existuje také jeho $\delta$-okolie, ktorého prienik s množinou $U$ je prázdna množina.
3. hraničným bodom množiny $U$, ak pre každé jeho $\delta$-okolie platí, že obsahuje aspoň jeden bod množiny $U$ a aspoň jeden bod, ktorý jej nepatrí.
4. Hranica množiny $U$ je množinu všetkých jej hraničných bodov.
5. Budeme hovoriť, že množina je
1. uzavretá, ak každý jej hraničný bod jej patrí
2. otvorená, ak aspoň jeden hraničný bod jej nepatrí.
6. Dve množiny budeme nazývať neprekrývajúce sa, ak ich prienik neobsahuje žiaden vnútorný bod ani jednej z týchto množín.
   

Úlohy

1. Daná je množina $M: \triangle ABC - (AB \cup AC \cup D)$. Zistite, či množina $M$ je uzavretá alebo otvorená. Vyznačte hranicu množiny $M$, ak základnou množinou je
   1. $\overleftrightarrow{ABC}$
   2. $\overrightarrow{BCA}$
Otvorte si zadanie Tu

2. Daný je štvorec $ABCD$. Určte hranicu množiny $\overrightarrow{ABC} ∩ \overrightarrow{CDA}- AD$, ak základnou množinou je
   1. $\overleftrightarrow{ABC}$
   2. $\overrightarrow{ABC}$.
      Otvorte si zadanie Tu

Jordanova teória miery – Camill Jordan (1838 – 1922)

1. Úsečku určenú bodmi $A,B$ budeme označovať symbolom $AB$. Mieru (dĺžku) úsečky $AB$ budeme označovať symbolom $\left| AB\right|$.
2. Pri meraní a určovaní dĺžky úsečky je nutné poznať konštrukciu prenášania úsečky $AB$ na danú polpriamku^[1].
3. Na určenie miery úsečky budeme potrebovať Archimedovu axiómu, ktorá je axiómou spojitosti Hilbertovho axiomatického systému.
4. Vo všeobecnosti môžeme určiť dĺžku ľubovoľného jedno-rozmerného útvaru (1D). Napríklad čiara patrí do (1D), pretože na určenie bodu na nej je potrebný len jeden parameter/rozmer.

Archimedova axióma
Nech sú dané dve úsečky $AB,CD$. Na polpriamke $\overrightarrow{AB}$ zostrojíme navzájom rôzne body $P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot$ také, že
$AP_1 \simeq P_1P_2 \simeq \cdot \cdot \cdot \simeq P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \simeq CD$.
Potom existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $P_n \in AB$ a $P_{n+1} \notin AB$.

Pri prenášaní jednotkovej úsečky $e= CD$ na polpriamku $\overrightarrow{AB}$ podľa Archimedovej axiómy môžu nastať dva prípady:

1. Úsečka $u=AB$ je celočíselným násobkom jednotkovej úsečky $e=CD$, hovoríme, že jednotková úsečka $e$ a meraná úsečka $u$ sú súmerateľné.
2. Meraná úsečka $a$ nie je celočíselným násobkom jednotkovej úsečky $e$ (Úsečka $e$ a meraná úsečka $u$ nie sú súmerateľné).

Postup merania

1. Na polpriamku $\overrightarrow{AB}$ nanášame jednotkovú úsečku $e=CD$ dokiaľ bude platiť $CD \subset AB$ - situáciu znázorňuje applet na červenej polpriamke.
2. Podľa Archimedovej axiómy existuje jediné prirodzené číslo $n$ také, že bod $P_n \in AB$ a bod $P_{n+1} \notin AB$. 
3. V prednastavenom applete je $P_n =2$ a $P_{n+1} =3$
4. Veľkosť (miera) meranej úsečky $u=AB$ bude zdola ohraničená počtom nanesených jednotkových úsečiek a zhora to bude číslo o 1 väčšie. V applete pohybuj posuvníkom $d$ a sleduj ako sa mení ohraničenie miery úsečky $AB$.
5. Ak chceme meranie spresniť, rozdelíme jednotkovú úsečku na 10 zhodných častí (hovoríme, že zjemňujeme jednotkovú úsečku v desiatkovej číselnej sústave). Postup uvedený pod bodom 1 opakujeme pre jednotkovú úsečku $\frac{e}{10}$ a polpriamku $\overrightarrow{A'B_1}$, pričom bod $A'=P_n, B_1=B$ je posledný krajný bod nanášanej úsečky $e$.
.

Druhá fáza merania - zjemňovanie jednotkovej úsečky

Postup merania

1. Jednotkovú úsečku $e=CD$ rozdelíme na 10 zhodných častí. "Nová" jednotková úsečka bude mať veľkosť $e/10=e_1$ (zjemnili sme jednotkovú úsečku na desatinu).
2. Na polpriamku $\overrightarrow{A'B_1}$ nanášame "novú" jednotkovú úsečku $e_1$, kde bod $A'$ je posledný bod z predchádzajúceho merania (nanášania úsečky $e=CD$). V prednastavenom applete je to bod označený číslicou 2.  V applete je to na polpriamke v strede.
3. Nanášame dokiaľ bude platiť $e_1 \subset AB$ - situáciu znázorňuje applet na spodnej polpriamke. V prednastavenom applete je to bod označený desatinným číslom 2.7.
4. Veľkosť (miera) meranej úsečky $u=AB$ bude zdola ohraničená počtom nanesených jednotkových úsečiek plus $\frac{a_1}{10}$, kde $a_1$ je počet nanesených nových jednotkových úsečiek $e_1$.
5. Zhora to bude číslo o $\frac{1}{10} =0,1$ väčšie. V applete pohybuj posuvníkom $d$ a sleduj ako sa mení ohraničenie miery úsečky $AB$.
6. Ak chceme meranie spresniť, rozdelíme "novú" jednotkovú úsečku $e_1$ opäť na 10 zhodných častí (zjemňujeme na $\frac{1}{100}$). Postup uvedený opakujeme dovtedy, kým nedosiahneme požadovanú presnosť. Výsledkom bude zrejme reálne číslo vyjadrené desatinnom tvare.

Definícia
Ak desatinný rozvoj nájdeného reálneho čísla je

• konečný resp. periodický - úsečky $a$ a $e$ sú súmerateľné, alebo
• nebude konečný ani periodický - úsečky budú nesúmerateľné. 

Príkladom dvojice nesúmerateľných úsečiek sú strana štvorca a uhlopriečka tohto štvorca.

Dĺžka úsečky (veľkosť úsečky) je nezáporné reálne číslo, ktoré zisťujeme meraním.
Meranie je proces, pri ktorom porovnávame úsečku s tzv. jednotkovou úsečkou. Jednotková úsečka je úsečka, ktorej veľkosť je 1.
Miera úsečky je každé zobrazenie množiny $M$ všetkých úsečiek do množiny všetkých nezáporných reálnych čísel s vlastnosťami, ktoré sú uvedené v nasledovnom odseku.

Definícia - miera/dĺžka úsečky
Nech $M$ je množina všetkých úsečiek. Funkciu, ktorá má nasledujúce tri vlastnosti

1. Pre každú úsečku $a \in M$ platí, že $f(a) \geq 0$
2. Ak $a, b$ sú dve zhodné úsečky, tak $f(a) = f(b)$
3. Ak $a + b$ je grafický súčet úsečiek $a, b$, tak $f(a + b) = f(a) + f(b)$
nazývame miera úsečky.

Poznámky

1. Z definície a prvej vlastnosti vyplýva, že každej úsečke prislúcha jediné kladné číslo, ktoré je jej dĺžkou.
2. Dĺžka úsečky nezávisí od jej polohy.
3. Jednotková úsečka má dĺžku 1.

Definície - vzdialenosť dvoch útvarov

1. Pod vzdialenosťou dvoch bodov rozumieme dĺžku úsečky, pre ktorú spomínané body sú jej krajnými bodmi.
2. Pod vzdialenosťou bodu $B$ od množiny $U$ rozumieme minimum zo všetkých možných dĺžok $|BX|$, kde $X \in U$
   $d(B, U) := min \lbrace{|BX|; X \in U}\rbrace$
3. Pod vzdialenosťou množín $U1, U2$ rozumieme minimum zo všetkých možných dĺžok $|XY |$, kde $X \in U_1 ,Y \in U_2$
   $d(U_1, U_2) := min \lbrace{|XY|; X \in U_1 \wedge Y \in U_2 }\rbrace$.

Cvičenia.

1. Je daná úsečka $KL$. Zostrojte trojuholník $ABC$, ktorého strany majú veľkosť: $a=\left| KL\right| , b=\frac{4}{3}\left| KL\right| , c=\frac{5}{3}\left| KL\right|$. Úlohu vyriešte v Euklidovskej rovine.
   Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 3 rovnaké časti.
2. Je daná úsečka $AB$. Zostrojte trojuholník $ABC$, ktorého strany majú veľkosť: $a=\frac{3}{2}\left|AB\right| , b=2\left| AB\right| , c= AB$. Úlohu vyriešte v Poincare Disc.
   Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 2 rovnaké časti.

Nech $A, B$ sú ľubovoľné dva body patriace Poincare Disc. Hyperbolickú hPriamku$AB$ označíme $l$ a "nevlastné" koncové body tejto priamky pomocou $P,Q$.
Tieto body pomenujeme tak, aby platilo $P ∗ B ∗ A ∗ Q$.

Nech A, B, P, Q sú navzájom rôzne kolineárne body také, že platí $P ∗ B ∗ A ∗ Q$.
Dvojpomer usporiadanej štvorice bodov $A, B, P, Q$ je podiel deliacich pomerov $(ABP)$ a $(ABQ)$; (dvojpomer takejto štvorice bodov $A, B, P, Q$ označujeme $(ABPQ)$).
$(ABPQ) := \frac{(ABP)}{(BAQ)}$

Príklad
Otvorte applet Tu

Úlohy

1. Zostrojte body $L_1,L_2,...$ na osi $x$: $OL_i=a$.
       Applet
2. Zostrojte kružnicu (prípadne aj nástroj na jej zostrojenie) určenú stredom a daným polomerom (číslom). Prázdny výkres Tu.

Rovinný útvar, ktorý je ohraničený a jeho hranica je jednorozmerný útvar sa nazýva merateľný útvar.
Množinu všetkých merateľných útvarov budeme označovať symbolom $\mathcal{M}$.

Funkcia $f : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}_0^+$ s vlastnosťami

1. existuje útvar $\mathcal{U}_0 \in \mathcal{M} : f(\mathcal{U}_0) = 1$
2. pre ľubovoľné útvary $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2 \in \mathcal{M} : (\mathcal{U}_1 \simeq \mathcal{U}_2 \Rightarrow f(\mathcal{U}_1) = f(\mathcal{U}_2))$
3. pre neprekrývajúce sa útvary $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2 \in \mathcal{M}$ platí $f(\mathcal{U}_1 \cup \mathcal{U}_2)=f(\mathcal{U}_1) + f(\mathcal{U}_2)$
sa nazýva miera rovinného útvaru.

Útvar $\mathcal{U}_0$ nazývame jednotkový útvar alebo jednotka miery.
Hodnotu $f(\mathcal{U})$, ktorú funkcia $f$ priradí útvaru $\mathcal{U}$, nazývame veľkosť’ útvaru $\mathcal{U}$.
Veľkosť’ rovinného útvaru často nazývame aj obsah útvaru (bežne pre obsah útvaru $\mathcal{U}$ používame namiesto, $f(\mathcal{U})$ označenie $S( \mathcal{U})$.

Štvorcová sieť $S_e$ v euklidovskej rovine je systém navzájom rovnobežných priamok $a_n\in E_2$ a kolmých priamok $b_m \perp a_n$.
$S_e= \lbrace{(a_i \parallel a_j) \wedge (a_i \perp b_i); i,j=1,2, \cdot \cdot \cdot }\rbrace$,
pričom platí, že vzdialenosť navzájom rovnobežných priamok je rovná veľkosti úsečky $e$. Rozmer štvorcovej siete je číslo $\left| e \right|$.

Nech $U$ je merateľný útvar v $E_2$ umiestnený do štvorcovej siete. 

1. Zjednotenie tých štvorcov štvorcovej siete, ktoré sú podmnožinou daného útvaru, nazývame jadro útvaru, označenie $J$.
2. Zjednotenie tých štvorcov štvorcovej siete, pre ktoré platí, že ich prienik s útvarom obsahuje aspoň jeden jeho vnútorný bod, nazývame obal útvaru, označenie $O$.

Nech $U$ je útvar umiestnený v štvorcovej sieti, nech $J$ je jadro a $O$ je obal útvaru $U$. Potom zrejme $J \subset O$ a teda platí
$S(J ) \leq S(U) \leq S(O)$

Veta: Nech $f$ je funkcia miery a nech $U_1,U_2$ sú merateľne útvary. Ak $U_1\subset U_2$, tak $f( \mathcal{U_1}) \leq f( U_2)$.

Princíp merania merateľných útvarov v $E_2$ pomocou tzv. Jordanovej teórie miery.

1. Základom pre Jordanovu teóriu miery je pevne zvolená štvorcová sieť $S_e$ určená jednotkovou úsečkou $e$.
2. Jednotkou miery bude jeden štvorec (označenie $E$) zvolenej siete. Jeho obsah $S(E)$ určíme definitoricky vzťahom $S(E) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^2$.

Obsah (veľkosť) meraného útvaru $U$ pri zvolenej jednotke $E$ budeme označovať $S_E( U )$, prípadne len $S(U )$

Pomocou Jordanovej metódy môžeme odhadnúť obsah ohraničeného útvaru tak, že ho vhodne umiestnime do štvorcovej siete. Napr. pre rozmer $e=1dm$.

1. Spočítame všetky štvorčeky, ktoré patria jadru útvaru– to bude dolný odhad obsahu. 
2. Potom spočítame všetky štvorčeky, ktoré obalu útvaru – to bude horný odhad obsahu.
Ak by nám takýto odhad nestačil, zmenšíme rozmer štvorcovej siete. Napr. zvolíme menšiu jednotkovú úsečku $e_1=1cm$.

Pomocou Jordanovej metódy môžeme odhadnúť obsah ohraničeného útvaru $U$ tak, že ho vhodne umiestnime do štvorcovej siete.

V prvom kroku merania (určovania obsahu útvaru) si zvolíme štvorcovú sieť $S_{e_1}$ s rozmerom $e_1$. (Napríklad $1 dm$).

1. Jednotka miery je štvorec $E_1$ so stranou $e_1$ a podľa dohovoru pre jeho veľkosť/obsah $S(E_1)$ platí $S(E_1)=(e_1)^2$.
2. Určíme všetky štvorce, ktoré patria do jadra $J_1$
3. Nech $n_1$ je počet štvorcov siete, ktoré patria do jadra útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
   $S(J_1)=n_1 \cdot (e_1)^2$
   čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru.
4. Podobne postupujeme pri určovaní obsahu obalu. Spočítame všetky štvorce, ktoré patria obalu $O_1$ meraného útvaru $U$.
5. Nech $m_1$ je počet štvorcov siete, ktoré patria do obalu útvaru, potom pre obsah jadra útvaru platí
   $S(O_1)=m_1 \cdot (e_1)^2$
   čo predstavuje horný odhad obsahu meraného útvaru.
6. Po prvom meraní dôjdeme k záveru, že pre obsah $S(U)$ útvaru $U$ platí
   $n_1 \cdot (e_1)^2 \leq S(U) \leq m_1 \cdot (e_1)^2$
   čo predstavuje dolný odhad obsahu meraného útvaru. Ak nám takýto odhad nestačí, zjemníme štvorcovú sieť.

V druhom kroku merania zvolíme menšiu jednotkovú úsečku $e_2= \frac{1}{10} e_1 \Leftrightarrow e_1=10e_2$. (Napríklad $1cm$).

1. Teraz jednotka miery je štvorec $E_2$, ktorý má 100 násobne menší obsah ako štvorec $E_1$. Pre jeho obsah platí $S(E_2)=\frac{1}{100}e_1$.
2. Zrejme platí, že každý štvorec z jadra $J_1$ obsahuje 100 menších štvorcov zjemnenej štvorcovej siete.
    

3. Tieto menšie štvorce určite patria do jadra $J_2$, ktoré bolo vytvorené v zjemnenej sieti. Preto platí
   $J_1 \subset J_2 \subset U \Leftrightarrow S(J_1) \leq S(J_2) \leq S(U)$
4. Analogické vzťahy platia aj pre obsah obalu:
   $U \subset O_2 \subset O_1 \Leftrightarrow S(U) \leq S(O_2) \leq S(O_1)$.
5. Z predchádzajúcich vzťahov a po $n$ krokoch zjemňovania siete dostaneme
   $S(J_1) \leq S(J_2) \leq \cdot \cdot \cdot S(J_n) \leq \cdot \cdot \cdot \leq S(U) \leq \cdot \cdot \cdot \leq S(O_n) \cdot \cdot \cdot \leq S(O_2) \leq S(O_1)$.

Potom zrejme postupnosť ${S(J_n)}^ \infty _{i=1}$ je neklesajúca, zhora ohraničená a postupnosť ${S(O_n)}^ \infty _{i=1}$ je nerastúca, zdola ohraničená. Členy postupnosti ${S(J_n)}^ \infty _{i=1}$ sú dolné ohraničenia a členy postupnosti ${S(O_n)}^ \infty _{i=1}$ sú horné ohraničenia veľkosti útvaru $U$ a limity týchto postupností sa rovnajú hodnote $S(U)$.

Riešte úlohy

1. Dané sú rôzne body $A,B,C$. Určte množinu (šrafovaním)
   1. $\lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   2. $\lbrace{X;XC \cap \overleftarrow{AB} \neq ∅ }\rbrace$
   3. $\lbrace{X; \overleftrightarrow{XC} \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   4. $\lbrace{X; \overrightarrow{XC} \cap \overleftrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
2. Je daná úsečka $KL$.
   1. Zostrojte trojuholník $ABC$, ktorého strany majú veľkosť: $a=\left| KL\right| , b=\frac{4}{3}\left| KL\right| , c=\frac{5}{3}\left| KL\right|$. Úlohu vyriešte v Euklidovskej rovine.
      Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 3 rovnaké časti.
   2. Je daná úsečka $AB=KL$. Zostrojte trojuholník $ABC$, ktorého strany majú veľkosť: $a=\frac{3}{2}\left|AB\right| , b=2\left| AB\right| , c= AB$. Úlohu vyriešte v Poincare Disku.
      Návod: Najskôr úsečku rozdeľte na 2 rovnaké časti.
   3. Je daná úsečka $AB=KL$. Zostrojte trojuholník $ABC$, ktorého strany majú veľkosť: $a=\frac{1}{2}\left|AB\right| , b=\frac{5}{4}\left| AB\right| , c= AB$. Úlohu vyriešte v Poincare Disku.
      
3. Daný je pravidelný 6-uholník $ABCDEF$ so stredom $S$ a ďalej sú dané body $X, Y$, pričom bod $X$ leží na polpriamke $\overleftarrow{FA}$ a zároveň platí $|XF|: |AF | =1:1$. Bod $Y$ leží na polpriamke $\overleftarrow{BA}$ a zároveň platí $\mu(AYB)=-1$. Určte vzdialenosti
   1. $d(BY,\overleftarrow{CS})$
   2. $d(XA,\overleftrightarrow{FE})$
   3. $d(SX)$
   4. $d(Y,\triangle{BCS})$
   5. $d(BC,ED)$
   Zadanie otvorte Tu
4. a. Daný je trojuholník $ABC$ a body $D,G$ tak, že bod $D$ je stred strany $AC$ a $G \in BD$, pričom $BG : DG = 3 : 2$. Určte obsahy všetkých troch neprekrývajúcich sa častí, na ktoré je trojuholník $ABC$ rozdelený (otvorte si zadanie), ak pre obsah trojuholníka platí $S_{ABC} = 12$.
   Zadanie otvorte Tu .
   b. Daný je trojuholník $ABC$ a body $D, E, F$ také, že $D \in AB$, $E \in BC$ a $F \in AE$, pričom $AD : BD = 1 : 4$,  $BE : CE = 2 : 1$ a $F$ je stred strany  $AE$.  Určte obsahy všetkých štyroch vyznačených neprekrývajúcich sa častí, na ktoré je trojuholník $ABC$ rozdelený (otvorte si zadanie), ak pre obsah trojuholníka platí $S_{ABC} = 30$.
   Zadanie otvorte Tu .
5.  Daný je pravidelný 6-uholník $ABCDEF$ s jednotkovým obsahom. Určte obsahy jednotlivých neprekrývajúcich sa útvarov, na ktoré je šesťuholník rozdelený. (Dané sú dve rozdelenia. Riešte pre každé rozdelenie samostatne.)
   
   Zadanie otvorte Tu
6. Rozdeľte obdĺžnik na 4 neprekrývajúce sa trojuholníky, ktorých obsahy tvoria $\frac{3}{8}; \frac{1}{3}; \frac{1}{6}; \frac{1}{8}$ z obsahu obdĺžnika.
7. Odvoďte vzťah pre výpočet obsahu rovnostranného trojuholníka, ak je daný a) polomer $r$ jemu opísanej kružnice, b) polomer $\rho$ jemu vpísanej kružnice.
8. Odvoďte vzťah pre výpočet obsahu pravidelného 6-uholníka, ak je daný a) polomer $r$ jemu opísanej kružnice, b) polomer $\rho$ jemu vpísanej kružnice.
9. Vypočítajte obsah štvoruholníka, zadanie Tu.
10. Vypočítajte obsah päťuholníka, zadanie Tu.