Planimetria a stereometria

Archimedov práca " Meranie kruhu" sa opiera o

1. exhaustívnu metódu, s pomocou ktorej Archimedes popísal pomer medzi obvodom a obsahom kruhu,
2. pomerne presnú aproximáciu konštanty označované dnes ako Ludolfovo číslo $\small \pi$.

V Euklidových Základoch je princíp exhaustívnej metódy vyjadrený v prvej vete 10. knihy. Exhaustívna metóda je systematický spôsob riešenia problémov, pri ktorom sa skúmajú možné prípady pomocou iterácií. Aj keď je metóda spoľahlivá, jej nevýhodou je časová a výpočtová náročnosť pri veľkom počte možností.

Veta (Upravený text Veta1 Kniha X, Základy, pozrite si interpretáciu Tu ). 
Ak máme veličiny $\small S, \normalsize\epsilon$, pričom je $\epsilon < \small S$. Ak postupne od $\small S$ odoberáme veličiny $\small a,b,c$, pričom
$\small a > \frac{S}{2}, \quad b > \frac{S - a}{2}, \quad c > \frac{S - a - b}{2}, \quad \dots$
potom je po určitom počte krokov} $\small S - a - b - c - \dots - k < \varepsilon$ resp. $\small a + b + c + \dots \to S$.

Toto je moderná formulácia Eudoxovej exhaustívnej metódy, ktorú používal Eudoxos z Knidu a ktorú využil aj Archimedes pri výpočte obsahov a objemov.
Dôkaz (Pre obsah kruhu $\small K$ využívaný Archimedom).

1. Odčítajme od obsahu $\small S_K$ kruhu $\small K$ obsah vpísaného štvorca.
2. Dostaneme menej ako polovicu obsahu kruhu $\small K$.

1. Ak vpíšeme do štyroch vzniknutých kruhových výsekov prirodzeným spôsobom rovnoramenné trojuholníky, odčítame opäť viac ako polovicu obsahu týchto výsekov atď.
2. Od štvorca tak dôjdeme k pravidelnému osemuholníku, obdobným spôsobom k 16-uholníku atď.

1. Ak tento postup dostatočne dlho opakujeme, priblížime sa obsahom pravidelného 2k-uholníka zdola akokoľvek blízko k obsahu kruhu $\small K$.

Poznámky. (Význam vety a dôkazu)

1. Veta hovorí o postupnom priblížení k určitej veličine $\small S_K$ tak, že v každom kroku odoberáme viac ako polovicu zostávajúcej hodnoty.
2. V dôkaze sa táto metóda aplikuje na "obsah kruhu" tým, že postupne vpisujeme pravidelné mnohouholníky s rastúcim počtom strán.
3. Kľúčová myšlienka: Ak tento postup opakujeme dostatočne dlho, plocha pravidelného mnohouholníka sa môže priblížiť "ľubovoľne blízko" k obsahu kruhu.
4. Toto je v podstate predchodca moderného pojmu limity a integrálneho počtu.

Archimedov odhad.

Archimedes približne určil hodnotu Ludolfovho čísla $π$ metódou vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky (vpísané aj opísané) a dospel k odhadu:
$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$
Otvorte si interaktívny applet Tu a nastavte hodnotu na $\small n=96$. Teda v desiatkovom zápise:
3,1408 < $π$ < 3,1429,
čo predstavuje presnosť na dve desatinné miesta. V dnešnej terminológii vpísaných a opísaných regulárnych polygónov dosiahneme tieto hranice až pri hodnote $\small n=157$. Otvorte si interaktívny applet "Archimedes_ObsahObvodKruhu_Trivium" Tu a nastavte hodnotu na $\small n=157$.

Historický argument.

Archimedova metóda je popísaná v jeho diele „O meraní kruhu“ (Περὶ τοῦ κυκλίου μέτρου). Toto dielo sa zachovalo len čiastočne, ale jeho hlavná myšlienka sa dochovala v arabských a byzantských rukopisoch. Archimedes využil exhaustívnu metódu, ktorú prevzal od Eudoxa a ktorá je predchodcom infinitezimálneho počtu.
V diele postupne zdokonaľoval svoj odhad $\small π$ zvyšovaním počtu strán mnohouholníkov, čím získaval čoraz presnejšie hodnoty. Originálny text, nájdete napríklad v:

1. [HEA] T. L. Heath: The Works of Archimedes (1897) – obsahuje preklady Archimedových spisov do angličtiny.
2. [BER] J. L. Berggren, J. M. Borwein, P. B. Borwein: Pi: A Source Book (2004) – podrobne opisuje históriu výpočtov π. Niektoré kapitoly tejto práce sú dostupné Tu.
   
   V tejto práci v kapitole " Archimedes. Measurement of Circle" sa popisuje metóda aproximácie aproximácie čísla $\small π$, ktorú použil Archimedes pri určovaní obsahu kruhu. Archimedes ohraničil hodnotu $\small π$ použitím vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky na získanie nasledujúcej aproximácie:
   $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$
   čo v desiatkovej sústave zodpovedá
   $3.1408 < \pi < 3.1429.$
   Použitie vpísaných a opísaných mnohouholníkov. (Pozrite si prácu (BER, 2004) strana 9 až 14., výber Tu.)
   Archimedes začal s pravidelným šesťuholníkom vpísaným do kruhu. Postupne zvyšoval počet strán mnohouholníkov a aplikoval vzťahy medzi dĺžkami ich strán a polomerom kruhu. Výpočet prebiehal pomocou rekurentných vzorcov na výpočet dĺžok strán postupne jemnejšie rozdelených mnohouholníkov. Použil nasledovné vzťahy pre polovičné uhly v pravouhlých trojuholníkoch vznikajúcich pri delení strán mnohouholníka (pozrite prácu (BEC,2012) str. 51):
   $s_{\small 2n}=\frac{s_{n}}{\sqrt{2 - \sqrt{4 - s_{n}^2}}}$,
   kde $\small n$ je dĺžka strany pravidelného $\small n$-uholníka vpísaného do kruhu. Vo svojich výpočtoch Archimedes využil znalosti gréckej matematiky v oblasti určovania približných hodnôt rôznych iracionálych čísel. Napríklad v Measurement of Circle použil aproximáciu druhej odmocniny čísla 3:
   $\frac{\sqrt{3}}{1} =\frac{265}{153}$,
   ktorá určuje odmocninu z troch až na 4 desatinné čísla.